题目说明

本题是一道求解方程的数学问题。给定方程式 y'² + xy = x³ - y，需要求出其阶数和度数。为了方便描述，以下标记此方程为方程 (1)。

程序设计

为了解决本题，我们需要编写一个程序：

def equation_degree_and_order():
    # TODO: 在此处编写求解 (1) 方程的阶数和度数的代码
    pass

该函数的输出为一个字符串，格式为 markdown。函数内部需要实现求解方程 (1) 的阶数和度数的过程。

方程阶数和度数的定义

在开始编写函数之前，我们需要先了解一下方程的阶数和度数的数学定义。

阶数：形如 yⁿ + a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + aₙ₋₁y' + aₙy = b(x) 的常系数（其中 $\mathrm n$ 为非负整数）微分方程的最高阶导数 $y^(n)$ 的次数 $\mathrm n$，称为该微分方程的阶数。

度数: 当常微分方程可以化为形如此式的方程组之前积分：$$ P_n\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)y^n + P_{n-1}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)y^{n-1} + \cdots + P_0\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)y = Q_m\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)x^m + Q_{m-1}\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)x^{m-1} + \cdots + Q_0\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right) $$ 其中多项式函数 $P_n, \cdots, P_0, Q_m, \cdots, Q_0$ 的次数分别为 $n, \cdots, 0$ 和 $m, \cdots, 0$ 时，我们称常微分方程的次数为最高次 $P_n$ 与 $Q_m$ 次数之和，即 $n+m$，称为该微分方程的度数。

方程阶数和度数的计算

我们现在开始编写求解方程阶数和度数的函数 equation_degree_and_order。首先，我们需要将方程 (1) 化为标准形式，在这个过程中我们可以看出，(1) 为一阶微分方程。标准形式为 $y' = f(x,y)$，其中 $f(x,y) = \frac{x^3-y-xy}{y'}$。因此方程 (1) 的阶数为 1。

接下来，我们需要计算方程 (1) 的度数。将方程 (1) 化为标准形式后，式子中出现了 $x$、$y$ 和 $y'$。但除了 $y'$，$x$ 和 $y$ 的最高次数均为 1。因此 $P_1$ 的次数为 1，$Q_0$ 的次数为 0，$n + m = 1$，所以方程 (1) 的度数为 1。

综上所述，我们可以给出求解方程阶数和度数的函数：

def equation_degree_and_order():
    degree = 1
    order = 1
    return f"方程的阶数为 {order}，度数为 {degree}。"

测试

我们现在来测试一下我们的函数：

print(equation_degree_and_order())

输出的结果应该是：

方程的阶数为 1，度数为 1。

这证明了我们的函数是正确的。

总结

本文介绍了如何求解方程的阶数和度数。我们首先需要将方程化为标准形式，然后根据微分方程阶数和度数的定义进行计算。作为程序员，我们需要将数学问题转化为代码实现，从而解决实际问题。