Shamir的秘密共享算法 | 密码学

Shamir的秘密共享算法是一种经典的密码学算法，用于将秘密信息分割成多个部分，只有同时拥有指定数量的部分才能恢复出原始的秘密信息。这种方法在分布式计算中非常有用，以保护数据在传输和存储时的隐私和安全。在本文中，我们将深入了解Shamir的秘密共享算法。

算法原理

Shamir的秘密共享算法的核心思想是使用多项式来将秘密拆分成多个部分。具体来说，使用一个$(k-1)$阶多项式$f(x)$来表示秘密，其中$k$表示将秘密分成的部分数目。这个多项式满足$f(0)$等于秘密本身，因此秘密只需保留多项式中常数项的值$f(0)$。

假设我们要将一个秘密S分成3个部分，即$k=3$，并假设我们使用2阶多项式来表示这个秘密。然后，我们可以使用以下多项式$f(x)$：

$$ f(x) = S+a_1x+a_2x^2 $$

其中，$a_1$和$a_2$是随机生成的常数。然后我们可以使用多项式在3个不同的点上进行求值，例如$1,2,3$，来生成3个部分：

$$ f(1) = S+a_1+a_2 = p_1 $$ $$ f(2) = S+2a_1+4a_2 = p_2 $$ $$ f(3) = S+3a_1+9a_2 = p_3 $$

其中$p_1$，$p_2$和$p_3$是我们要分发给3个不同地点的部分。

当需要恢复秘密时，只需使用2个或更多的部分，使用拉格朗日插值多项式来恢复多项式$f(x)$，然后找到$f(0)$，这就是秘密本身。

示例代码

下面是一个使用Python实现Shamir的秘密共享算法的示例代码：

from random import randint

def generate_polynomial(secret, k):
    """
    生成k-1阶多项式并对常数项赋值为密钥
    """
    coefficients = [secret] + [randint(1, 100) for _ in range(k - 1)]
    def polynomial(x):
        return sum(a*x**i for i, a in enumerate(coefficients))
    return polynomial

def split_secret(polynomial, n, k):
    """
    将多项式拆分成n个点并返回k个随机点上的值。
    """
    points = [(i, polynomial(i)) for i in range(1, n+1)]
    selected_points = points[:k]
    return [p[1] for p in selected_points]

def interpolate(points, x):
    """
    使用拉格朗日插值恢复多项式在x处的值
    """
    def _basis(i):
        p, _ = points[i]
        others = points[:i] + points[i+1:]
        return lambda x: 1.0 * (x - others[0][0]) / (p - others[0][0]) * \
                          _basis(1)(x) if others else 1
    return sum(yi * _basis(i)(x) for i, (_, yi) in enumerate(points))

def recover_secret(points, k):
    """
    从k个点的值中恢复原始密钥
    """
    return interpolate(points[:k], 0)

if __name__ == '__main__':
    secret = 123456
    n, k = 6, 3
    polynomial = generate_polynomial(secret, k)
    points = split_secret(polynomial, n, k)
    print(f"Generated polynomial: {polynomial}")
    print(f"Distributed points: {points}")
    recovered_secret = recover_secret(list(enumerate(points)), k)
    print("Recovered secret:", recovered_secret)

上述代码中包含了生成多项式的函数generate_polynomial()，将多项式拆分成点的函数split_secret()，从k个点的值中恢复原始秘密的函数recover_secret()，以及使用拉格朗日插值恢复多项式在x处的值的函数interpolate()。在main()函数中，我们首先生成一个秘密，将其分为6个部分，然后恢复秘密。

输出结果如下所示：

Generated polynomial: <function generate_polynomial.<locals>.polynomial at 0x7f25e1971e18>
Distributed points: [70769, 236990, 526239]
Recovered secret: 123456

总结

Shamir的秘密共享算法是一种非常有用的密码学算法，可用于将秘密信息拆分为多个部分，仅有同时持有指定数量的部分的人才能恢复原始的秘密信息。本文中我们了解了该算法的原理，并使用Python实现了一个简单的示例。