题目介绍

这是门(GATE) 2017 MOCK II的第60道试题。这道题旨在考察程序员对于图形操作的能力。

题目描述

给出一个大小为n的点集，其中每个点(i,j)的高度为h(i,j)。你需要找到一条路径，使得这条路径所经过的高度之和最大，并且这条路径的长度不能超过k。路径可以从任意一个点开始，也可以在任意一个点结束。

输入

输入包括三行，第一行为n，表示点集大小。第二行为一个n*n的矩阵h，表示每个点的高度。第三行为k，表示路径的长度不能超过k。

输出

输出为一个整数，表示最大的高度之和。

示例输入

3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2

示例输出

14

解题思路

这道题可以用动态规划的方法解决。为了实现高效的动态规划，我们可以先计算出所有点到第n行的最大高度。

然后，我们可以用一个暴力的算法来计算出每一个长度为k的路径，以找到高度之和最大的那个路径。然而，这个算法是非常耗时的，因为路径的数量是指数级的。

为了优化这个算法，我们可以使用动态规划。假设D(i,j,l)表示从(i,j)开始长度为l的路径中的最大高度和。那么，对于任意的i和j，我们可以计算D(i,j,l)的值，并且使用一个二维数组来记录这些值。接下来，我们可以使用递归的方法来计算D(i,j,l)，以便我们可以共享计算结果。

具体实现细节可以看代码实现。

代码实现

以下是Python实现的代码。注释中有详细的解释。

def solve(n, h, k):
    # 初始化max_h数组
    max_h = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == 0:
                max_h[i][j] = h[i][j]
            else:
                max_h[i][j] = max(max_h[i-1][j], h[i][j])
    
    # 初始化dp数组
    dp = [[[-1] * (k+1) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    
    # 递归计算D(i,j,l)
    def helper(i, j, l):
        # 如果l=0，则返回0
        if l == 0:
            return 0
        # 如果dp[i][j][l]已经计算过，则返回计算结果
        if dp[i][j][l] != -1:
            return dp[i][j][l]
        # 计算D(i,j,l)
        res = h[i][j]
        for dx in range(-1, 2):
            for dy in range(-1, 2):
                if dx == 0 and dy == 0:
                    continue
                x, y = i + dx, j + dy
                if x >= 0 and x < n and y >= 0 and y < n and abs(dx) + abs(dy) == 1:
                    res = max(res, h[i][j] + helper(x, y, l-1))
        # 缓存计算结果
        dp[i][j][l] = res
        return res
    
    # 计算最大高度之和
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for l in range(1, k+1):
                ans = max(ans, helper(i, j, l))
    
    return ans

总结

这道题考察了程序员的图形处理和动态规划的能力。通过使用动态规划的方法，我们可以更加有效地解决这个问题。