九点圆是什么？

九点圆，亦称费马圆，是指在一个三角形内，通过三角形三条边的中点，各作一个圆，这三个圆的圆心连线所组成的圆称为九点圆。在数学中，九点圆是三角形的一个重要性质，具有许多有趣的性质和应用。

圆心和半径

九点圆的圆心通常用"N"表示，九点圆的半径则是原三角形的半径的一半。如果原三角形的外接圆半径为“R”，则九点圆半径为“R/2”。

性质

以下列举一些九点圆的性质：

1. 圆心N是中垂线AD、BE、CF的交点，也是三角形垂心H、外心O连线中点。
2. 九点圆与内心圆、外心圆、垂心圆相切。
3. 垂直于边上中线的连线经过圆心N。
4. 黎曼斯矩形公式：对于任意三角形ABC，有N的质心坐标为$[4R^2s_A : 4R^2s_B : 4R^2s_C]$，其中$s_A,s_B,s_C$分别为三角形边长的一半。

应用

九点圆在几何问题中有着广泛的应用，例如：

1. 作为三角形垂直平分线的焦点，可以用于构造中心多段线、内切多边形等。
2. 通过三角形垂心的坐标公式可求解三角形的面积、内心坐标、垂线方程等。
3. 在三角形切比雪夫点、差分中心、南极点等重要几何断面上都存在着九点圆。

总之，九点圆是三角形的一个重要性质，对于研究三角形的各类问题具有很大的帮助。