通过合并两个给定数组可能实现的最大前缀总和

有两个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和 $b$。假设你可以选择其中的若干个数，将它们合并成一个新的数组 $c$。合并后，$c$ 的前缀总和（即 $c_1+c_2+\cdots+c_k$）和最大是多少？

这个问题可以通过动态规划算法来解决。

首先，我们可以求出 $a$ 和 $b$ 分别的前缀和数组 $pa$ 和 $pb$，即 $pa_i=\sum_{j=1}^i a_j$ 和 $pb_i=\sum_{j=1}^i b_j$。这样，对于 $0 \leq i \leq n$，$pa_i$ 和 $pb_i$ 分别表示 $a$ 和 $b$ 的前 $i$ 个数的和。

接下来，我们定义状态 $f_{i,j}$ 表示当前已选的数分别是 $a_1,\ldots,a_i$ 和 $b_1,\ldots,b_j$，且最后一个选的数是 $a_i$ 或 $b_j$ 时，合并后数组的前缀和最大值。

根据定义，当最后一个选的数是 $a_i$ 时，合并后数组的前缀和为 $pa_i+pb_j$。当最后一个选的数是 $a_j$ 时，合并后数组的前缀和为 $pa_i+pb_j$。因此，状态转移方程为：

$$ f_{i,j} = \max \begin{cases} f_{i-1,j}+a_i \ f_{i,j-1}+b_j \ pa_i+pb_j \end{cases} $$

其中 $\max$ 表示取三者之最大值。最终，数组 $a$ 和 $b$ 的前缀和数组分别为 $pa$ 和 $pb$，则合并后数组的前缀和最大值为 $f_{n,n}$。

下面是 Python 代码的实现：

def max_prefix_sum(a, b):
    n = len(a)
    pa = [0] * (n+1)
    pb = [0] * (n+1)
    for i in range(n):
        pa[i+1] = pa[i] + a[i]
        pb[i+1] = pb[i] + b[i]
    f = [[-inf] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    f[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            f[i][j] = max(f[i-1][j]+a[i-1], f[i][j-1]+b[j-1], pa[i]+pb[j])
    return f[n][n]

其中 inf 表示正无穷。时间复杂度为 $O(n^2)$。

我们可以通过以下测试代码验证算法的正确性：

a = [1, 2, 3, 4, 5]
b = [6, 7, 8, 9, 10]
print(max_prefix_sum(a, b)) # Output: 55

此时，选择数组 $[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$ 合并成的数组前缀和最大为 55，即 $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$。

因此，本题的算法已经得到了正确的实现。