最后一个断点后覆盖的距离，最多 K 成本

在程序开发中，我们经常会遇到需要寻找最优解决方案的问题。本篇介绍了一种利用动态规划算法来解决“最后一个断点后覆盖的距离，最多 K 成本”的问题的方法。

问题描述

给定一组数值 $a_1,a_2,...,a_n$（$1 \leq n \leq 10^5$），以及一个正整数 $K$，现在需要在数列中挑选若干个连续的元素组成一个子序列，使得：

• 这个子序列中相邻两个数之差的绝对值都等于 $1$；
• 子序列中相邻两个数之间的距离不超过 $K$；
• 子序列中所包含所有数的之和最大。

请你计算出包含所有数的子序列最大和。

动态规划算法思路

可以采用动态规划算法解决该问题。具体步骤如下：

状态定义

我们用 $dp_{i,j}$ 表示以 $a_i$ 结尾，同时上一个选择成本为 $j$ 的最大和。

状态转移

对于当前状态 $dp_{i,j}$，我们可以由上一个选择成本为 $j-1$ 或 $j+1$ 的状态 $dp_{i-k,j-1}$ 或 $dp_{i-k,j+1}$ 转移而来，其中 $k \in [1,K]$，表示当前数列中考虑的前缀长度。

具体而言，状态转移方程如下：

$$ dp_{i,j} = \max_{k=1}^K dp_{i-k,j-1} + s_i $$

其中 $s_i$ 表示数列中第 $i$ 个元素的数值。

状态的初始化

初始化 $dp_{i,0} = 0$，表示没有选择任何元素时的最大和。

状态的输出

输出 $\max_{j=0}^{2K} dp_{n,j}$，表示最终所求答案。

代码实现

def max_sum(nums, K):
    n = len(nums)
    dp = [[float('-inf')] * (2 * K + 1) for _ in range(n)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(1, 2 * K + 1):
            for k in range(1, K + 1):
                if i - k < 0:
                    break
                if abs(nums[i] - nums[i-k]) != 1:
                    continue
                if j - 1 < 0:
                    continue
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-k][j-1])
            dp[i][j] += nums[i]
    return max(dp[-1])

总结

本篇文章介绍了动态规划算法在解决“最后一个断点后覆盖的距离，最多 K 成本”的问题上的应用。通过定义合适的状态和状态转移方程，可以有效地解决这类问题。