最长山子阵

山子阵指的是矩阵中形如“山”的连续子序列，即先递增后递减或先递减后递增的子序列。最长山子阵指的是矩阵中最长的山子阵的长度。

解决方案

最长山子阵问题可以使用动态规划来解决。我们可以构建两个数组$inc$和$dec$，其中$inc[i][j]$保存以$(i,j)$为结尾的递增子序列的长度，$dec[i][j]$保存以$(i,j)$为开头的递减子序列的长度。

具体而言，我们分别从左到右和从右到左遍历每一行，对于每一行，分别更新$inc$和$dec$。接着，我们再从上到下和从下到上遍历每一列，对于每一列，分别更新$inc$和$dec$。最后，我们遍历每一个位置，计算以该位置为顶点的山子阵的最大长度，即$max_{i,j}(inc[i][j]+dec[i][j]-1)$。

下面给出Python代码实现：

def longest_mountain(matrix):
    if not matrix:
        return 0
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    inc = [[1] * n for _ in range(m)]
    dec = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][j] > matrix[i][j-1]:
                inc[i][j] = inc[i][j-1] + 1
        for j in range(n-2, -1, -1):
            if matrix[i][j] > matrix[i][j+1]:
                dec[i][j] = dec[i][j+1] + 1
    for j in range(n):
        for i in range(1, m):
            if matrix[i][j] > matrix[i-1][j]:
                inc[i][j] = inc[i-1][j] + 1
        for i in range(m-2, -1, -1):
            if matrix[i][j] > matrix[i+1][j]:
                dec[i][j] = dec[i+1][j] + 1
    res = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            res = max(res, inc[i][j]+dec[i][j]-1)
    return res

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(mn)$，其中$m$和$n$分别为矩阵的行数和列数。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为$O(mn)$，由于我们需要构建两个$inc$和$dec$数组。