最长连续子序列

最长连续子序列问题涉及到在给定序列中查找具有最长连续元素的子序列。这个问题可以用动态规划算法来解决，时间复杂度为O(n)。

动态规划算法

动态规划算法应用广泛，可以解决多种问题。它的基本思想是将一个问题分解成若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。在最长连续子序列问题中，我们可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长连续子序列长度。

我们可以通过以下递推公式来计算 dp[i]：

dp[i] = dp[i-1] + 1, if nums[i] - nums[i-1] == 1
dp[i] = 1, otherwise

其中 nums 是原序列，dp[0] = 1。

最终的答案是 dp 数组中的最大值。

以下是 python 实现：

def longestConsecutive(nums):
    if not nums:
        return 0
    nums.sort()
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        if nums[i] - nums[i-1] == 1:
            dp[i] = dp[i-1] + 1
    return max(dp)

时间复杂度

对原序列进行排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$，算法的主要逻辑是一次遍历，时间复杂度为 $O(n)$。所以总的时间复杂度为 $O(n\log n + n) = O(n\log n)$。

参考文献

• LeetCode. Longest Consecutive Sequence