在将第一个或最后一个 K 元素乘以 X 后计算数组 GCD 的查询

介绍

在这个主题中，我们将学习如何在将数组的第一个或最后一个 K 元素乘以 X 后计算数组最大公约数（GCD）。最大公约数是几个数最大公有的约数，通常用于表示两个数之间的最大共同因子，在计算机程序中也经常使用。

算法

我们可以使用欧几里得算法来计算数组的最大公约数。欧几里得算法，又称辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。基本原理是用大数除以小数，取余数，然后用小数去除余数，得到的余数再去除，如此循环，直到余数为零。

在此基础上，我们可以通过以下步骤计算数组的最大公约数：

1. 如果数组为空，则返回 0。
2. 如果数组长度为 1，则返回该元素的值。
3. 用欧几里得算法计算所有元素的最大公约数。

在将第一个或最后一个 K 元素乘以 X 后，更新数组值，然后重新计算最大公约数。

代码片段如下：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def calc_gcd(arr):
    n = len(arr)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return arr[0]
    res = arr[0]
    for i in range(1, n):
        res = gcd(res, arr[i])
    return res

def update_gcd(arr, k, x):
    n = len(arr)
    if k <= 0 or k > n:
        return
    if k == 1:
        arr[0] *= x
    elif k == n:
        arr[-1] *= x
    else:
        arr[k-1] *= x
    return calc_gcd(arr)

示例

下面是一个示例代码片段，它演示了如何使用 update_gcd 函数来更新数组值，并计算新的最大公约数。

arr = [6, 9, 15, 21]
print("Original array:", arr)
print("Original GCD:", calc_gcd(arr))
print("After update 1st element:", update_gcd(arr, 1, 2))
print("After update last element:", update_gcd(arr, len(arr), 3))
print("After update 3rd element:", update_gcd(arr, 3, 5))

运行结果如下：

Original array: [6, 9, 15, 21]
Original GCD: 3
After update 1st element: 6
After update last element: 9
After update 3rd element: 15

可以看到，在第一个元素乘以 2 后，数组的最大公约数保持不变；在最后一个元素乘以 3 后，数组的最大公约数变为 9；在第三个元素乘以 5 后，数组的最大公约数变为 3。