在 Scipy-Python 中使用双线性变换方法设计 IIR 低通巴特沃斯滤波器

在信号处理领域中，滤波器是非常重要的一部分。滤波器用于将频率域中的信号进行过滤，通常用于去除噪声或削弱某些频率成分。 Scipy-Python库中包含了许多用于滤波的工具。其中一个最常用的是巴特沃斯滤波器。

在本文中，我们将介绍如何在 Scipy-Python 中使用双线性变换方法设计 IIR 低通巴特沃斯滤波器。我们将使用 Python 3.x 版本和 Scipy 1.4.1 版本。

巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器是一种基于二阶滤波器级联设计的滤波器。这些过滤器通常用于数字信号处理中的滤波任务。巴特沃斯滤波器具有以下特性：

• 它是一种无限长的数字滤波器。
• 它是一种带通滤波器，意味着它可以过滤一定范围内的频率成分。
• 它是一个 IIR（无限冲激响应）滤波器，意味着它的输出是和过去的输入有关的。

巴特沃斯滤波器有一个非常重要的参数，即阶数（Order）。阶数越高，过滤器越“陡峭”，也更容易引入附带波纹。为了获得最佳过滤器性能，阶数必须足够高。然而，由于阶数越高，计算成本也越高，因此需要权衡。

双线性变换

设计 IIR 滤波器时使用双线性变换来将给定的模拟滤波器转换为数字滤波器。双线性变换是一种对连续时间信号和离散时间信号之间的转换。

IIR 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤

以下是设计 IIR 低通巴特沃斯滤波器的几个步骤。

步骤 1：确定滤波器规格

首先，我们需要确定所需滤波器的规格，例如截止频率和阶数。

在本例中，我们将设计一个在 50 Hz 截止频率处的 4 阶低通巴特沃斯滤波器。

import scipy.signal as signal

# 设计带通巴特沃斯滤波器
N = 4              # 阶数
fs = 200           # 采样频率
fc = 50            # 截止频率（单位：赫兹）

# 模拟带通滤波器
b, a = signal.butter(N, 2*fc/fs, 'low')

步骤 2：进行双线性变换

将 IIR 滤波器变换为数字滤波器的第一步是将其进行双线性变换。双线性变换将模拟滤波器的差分方程转换为数字滤波器的递归方程。这里我们使用 Scipy-Python 中的 bilinear 函数进行变换。

# 将模拟滤波器模型转化为数字滤波器模型
d, c = signal.bilinear(b, a, fs)

步骤 3：可视化数字滤波器

最后，我们可以绘制数字滤波器的幅度响应曲线，以查看其频率响应。可以看到，数字滤波器的截止频率约为 50 Hz。

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制数字滤波器的幅度响应曲线
w, h = signal.freqz(d, c)
plt.plot((fs * 0.5 / np.pi) * w, abs(h))
plt.xlabel('频率（Hz）')
plt.ylabel('幅度')
plt.title('IIR 巴特沃斯低通滤波器')
plt.show()

上面就是使用Scipy-Python中的双线性变换方法来设计IIR低通巴特沃斯滤波器的方法，其中包括了具体的步骤、代码和可视化结果。使用这种方法，可以快速准确地设计数字滤波器，用于许多数字信号处理应用。