GCD大于1的最大子序列

在计算机科学中，GCD表示最大公约数。给定一个非空的整数序列，我们需要找到其中最大的子序列，使得该子序列中的所有元素的GCD（最大公约数）大于1。

实现思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体地，我们维护一个数组$dp_{i,j}$，其中$dp_{i,j}$存储以第$i$个元素结尾，GCD为$j$的最大子序列的长度。最终的结果即为$max_{j>=2}(dp_{n,j})$，其中$n$是整数序列的长度。

我们可以通过以下递推关系来计算$dp_{i,j}$：

$$ dp_{i,j}=\begin{cases} 1 & j|a_i\ max_{k|j}(dp_{i-1,k})+1 & j|a_i \end{cases} $$

其中$a_i$是整数序列中的第$i$个元素。

代码实现

以下代码演示了如何使用动态规划来解决GCD大于1的最大子序列问题：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

def max_gcd_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * 1001 for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(2, 1001):
            if j == nums[i]:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], 1)
            elif j % nums[i] == 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], 1)
                for k in range(i):
                    if dp[k][j // nums[i]] > 0:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j // nums[i]] + 1)
    ans = 0
    for j in range(2, 1001):
        ans = max(ans, dp[n - 1][j])
    return ans

nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
print(max_gcd_subsequence(nums))  # 3

在这个例子中，整数序列为$[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$，我们需要找到GCD大于1的最大子序列的长度。使用动态规划算法进行计算，时间复杂度为$O(n^2\sqrt{V})$。最后输出的结果为3，即最大的满足GCD大于1的子序列是$[2,3,6]$，长度为3。