总和大于k的最大子数组

在数据结构与算法中，最大子数组问题是一道很经典的问题，该问题需要在一个数组中找到一个子数组，该子数组的元素和最大。而在这个问题的基础上，我们可以引申出一个变形问题——总和大于k的最大子数组。该问题需要找到一个数组中的子数组，该子数组的元素和大于k，并且该子数组的元素和是最大的。

解决方法

首先，我们需要将原数组中的每个元素依次进行求和，并且保存下来。这样我们就会得到一个新的数组，该数组中的每个元素都代表了原数组中某个位置到数组末尾所组成的子数组的元素和。接着，我们需要在这个新数组中查找一个子数组，该子数组的元素和大于k，并且该子数组的元素和是最大的。

对于该问题的解决，我们可以使用两个指针i和j来标识子数组的边界。我们可以让j从i开始往后移动，直到子数组的元素和大于等于k。然后，我们再让i往后移动，直到子数组的元素和小于k。在这个过程中，我们使用一个变量sum来保存子数组的元素和，并且在每次向右移动j和向右移动i时，我们都会更新sum的值。最后，我们只需要比较每个子数组的元素和与当前最大的元素和，并且记录下子数组的开头和结尾位置即可。

下面是Java语言的代码实现：

public static int[] maxSubArray(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[] sums = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
    }
    int start = 0, end = 0;
    int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            int sum = sums[j] - sums[i];
            if (sum > k && sum > maxSum) {
                maxSum = sum;
                start = i;
                end = j - 1;
            }
        }
    }
    return new int[]{start, end};
}

上面的代码的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。但是我们还可以使用一些高效的算法来优化它，例如滑动窗口算法和前缀和+二分搜索算法。

滑动窗口算法

对于该问题，我们也可以使用滑动窗口算法来进行求解。该算法的思想是，我们维护一个左右两个指针，并且让右指针不断地向右移动，直到子数组的元素和大于等于k。然后，我们将左指针向右移动，直到子数组的元素和小于k。在这个过程中，我们使用一个变量sum来保存子数组的元素和，并且在每次向右移动右指针和向右移动左指针时，我们都会更新sum的值。最后，我们只需要比较每个子数组的元素和与当前最大的元素和，并且记录下子数组的开头和结尾位置即可。

下面是Java语言的代码实现：

public static int[] maxSubArray(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[] sums = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
    }
    int start = 0, end = 0;
    int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
    int l = 0, r = 0;
    int sum = 0;
    while (r <= n) {
        if (sum <= k && r < n) {
            sum += nums[r];
            r++;
        } else if (sum > k) {
            sum -= nums[l];
            l++;
        } else {
            break;
        }
        if (sum > k && sum > maxSum) {
            maxSum = sum;
            start = l;
            end = r - 1;
        }
    }
    return new int[]{start, end};
}

上面的代码的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。该算法比之前的算法更为高效。

前缀和+二分搜索算法

对于该问题，我们还可以使用前缀和+二分搜索算法来进行求解。该算法的思想是，我们需要先求出原数组的前缀和，并且将前缀和数组中的每个元素与k相减。然后，我们需要在这个新数组中查找一个子数组，该子数组的元素和小于等于0，并且该子数组的元素和是最小的。接着，我们可以使用前缀和数组中的每个元素与该子数组的元素和进行相加，从而得到新的子数组，该子数组的元素和大于k，并且子数组的元素和是最大的。

下面是Java语言的代码实现：

public static int[] maxSubArray(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[] sums = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
    }
    int start = 0, end = 0;
    int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
    TreeSet<Integer> treeSet = new TreeSet<>();
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        Integer ceiling = treeSet.ceiling(sums[i] - k);
        if (ceiling != null && sums[i] - ceiling > maxSum) {
            maxSum = sums[i] - ceiling;
            start = findIndex(sums, ceiling) + 1;
            end = i - 1;
        }
        treeSet.add(sums[i]);
    }
    return new int[]{start, end};
}

private static int findIndex(int[] nums, int target) {
    int l = 0, r = nums.length - 1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >>> 1;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] > target) {
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return -1;
}

上面的代码的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。该算法在数据量大的情况下比之前的算法更为高效。