门| GATE 2017 MOCK II |问题 13

这道题目是GATE 2017 MOCK II的问题13，需要我们编写一个程序来求解一组数据的结果。题目要求程序员在程序中实现矩阵求逆的算法，计算给出的矩阵的逆矩阵，并输出结果。在这里我们给出详细的介绍，希望能给大家带来帮助。

题目描述

给定一个矩阵A，求它的逆矩阵。你需要实现一个程序来计算逆矩阵并输出结果。如果逆矩阵不存在，请输出"Not possible"。

输入格式：

第一行，输入一个整数n，表示矩阵A的大小为n x n。

接下来的n行，每行输入n个整数，表示矩阵A中的元素。矩阵的行和列都是从0开始的。

输出格式：

输出一个n x n的矩阵，表示矩阵A的逆矩阵。每行输出n个整数，表示逆矩阵中的元素。如果逆矩阵不存在，请输出"Not possible"。

解法

这道题目需要我们实现矩阵求逆的算法。如果我们使用高斯-约旦消元法，就可以将矩阵A转化为一个上三角矩阵U，再通过回代法求解逆矩阵。但是这个方法比较繁琐，下面我们介绍一种更简单的方法。

我们可以使用矩阵的伴随矩阵来求解矩阵的逆矩阵。假设A是一个n x n的矩阵，其伴随矩阵为adj(A)，则A的逆矩阵为：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$

其中，$|A|$表示A的行列式。因此，我们只需要求解矩阵的行列式和伴随矩阵即可得到矩阵的逆矩阵。

代码

下面是本题的代码实现，其中我们使用了numpy库来实现矩阵的行列式和伴随矩阵的计算。

import numpy as np

def cofactor(matrix, i, j):
    return np.delete(np.delete(matrix, i, axis=0), j, axis=1)

def determinant(matrix):
    if matrix.shape == (1, 1):
        return matrix[0][0]
    det = 0
    for j in range(matrix.shape[0]):
        det += ((-1) ** j) * matrix[0][j] * determinant(cofactor(matrix, 0, j))
    return det

def adjoint(matrix):
    adj = np.zeros((matrix.shape[0], matrix.shape[1]))
    for i in range(matrix.shape[0]):
        for j in range(matrix.shape[1]):
            cof = cofactor(matrix, i, j)
            adj[j][i] = ((-1) ** (i + j)) * determinant(cof)
    return adj

def inverse(matrix):
    det = determinant(matrix)
    if det == 0:
        return "Not possible"
    adj = adjoint(matrix)
    inv = adj / det
    return inv.astype(int)

我们可以将上面的代码保存在一个名为"matrix_inverse.py"的文件中，并使用下面的代码来测试它。在这个例子中，我们给出了一个3x3的矩阵，使用我们实现的函数计算它的逆矩阵，并输出结果。

import numpy as np
from matrix_inverse import inverse

matrix = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])
inv = inverse(matrix)
print(inv)

输出结果如下：

[[-24  18   5]
 [ 20 -15  -4]
 [ -5   4   1]]

总结

本文介绍了GATE 2017 MOCK II的问题13，给出了计算矩阵逆矩阵的详细解法，并提供了相应的代码实现。在实现过程中，我们使用了numpy库来实现矩阵的行列式和伴随矩阵的计算。希望这篇文章能对大家有所帮助。