最小化交替子序列的计数以将给定的二进制字符串与子序列号相除

简介

给定一个二进制字符串，你可以执行以下操作：

• 将任意 0 换成 1。
• 将任意 1 换成 0。

你需要通过最小化交替子序列的数目，使得该二进制字符串除以给定的子序列号有余数。其中，交替子序列是指相邻字符（0 或 1）交替出现。

解题思路

该问题可以转化为：如何计算二进制串中任意长度的交替子序列的数量。可以通过动态规划的方法来解决。

记$dp_{i, 0/1}$表示以第i个位置为结尾的两种情况的交替子序列数量，其中0表示以0结尾的交替子序列数量，1表示以1结尾的交替子序列数量。

对于$dp_{i, 0}$，考虑当前位置i与前一个位置j的关系：

• 若相同，则$dp_{i, 0}=dp_{j,1}$
• 若不同，则$dp_{i,0}=dp_{j,0}+1$

对于$dp_{i, 1}$，同理：

• 若相同，则$dp_{i, 1}=dp_{j,0}$
• 若不同，则$dp_{i,1}=dp_{j,1}+1$

其中，$dp_{i,0}=dp_{i,1}=1$，即单个字符本身就可以视为一个长度为1的交替子序列。

最终的结果需要取到最小的交替子序列数量，因此需要遍历dp数组，取最小值即可。

代码示例

以下是一个Python的实现：

def min_alternating_subsequence_count(binary_string, subsequence):
    n = len(binary_string)
    m = len(subsequence)
    
    dp = [[1, 1] for _ in range(n)]
    
    for i in range(n):
        # 计算dp[i, 0]
        for j in range(i-1, max(-1, i-m-1), -1):
            if binary_string[i] == binary_string[j]:
                dp[i][0] = dp[j][1]
                break
            else:
                dp[i][0] = dp[j][0] + 1
        
        # 计算dp[i, 1]
        for j in range(i-1, max(-1, i-m-1), -1):
            if binary_string[i] != binary_string[j]:
                dp[i][1] = dp[j][1]
                break
            else:
                dp[i][1] = dp[j][0] + 1
    
    ans = float('inf')
    for i in range(n-m+1,n):
        if (i-n+m)%2==0:
            ans = min(ans, dp[i-1][0])
        else:
            ans = min(ans, dp[i-1][1])
    
    return ans

该函数接受两个参数，一个是二进制字符串，一个是子序列号。函数返回最小化交替子序列的数量以使得该二进制字符串除以给定的子序列号有余数。