两个向量的叉积

矢量是具有大小和方向的二维实体。向量在几何上可以看作是一条有向线段，箭头表示方向，长度等于向量的大小。矢量的方向是从尾部到头部。如果两个向量具有相同的大小和方向，则它们是相同的。这表明如果我们取一个向量并将其转换为一个新点（不旋转它），我们最后得到的向量与我们开始的向量相同。

两个向量的叉积

在三维空间中，叉积是对两个向量的二元运算。它生成与两个给定向量的垂直向量。 a × b 表示两个向量 a 和 b 的向量积。它产生一个垂直于 a 和 b 的向量。交叉商品是矢量产品的别称。两个向量的叉积的结果是一个向量，可以使用右手定则确定。

a × b = |a||b|sinθ

交叉产品矩阵

我们还可以使用下面给出的矩阵行列式推导出两个向量的叉积公式。

A = ai + bj + ck

B = xi + yj + zk

A × B = $\begin{vmatrix}{\hat{i}}&{\hat{j}}&{\hat{k}}\\a&b&c\\x&y&z\end{vmatrix}$

= $(bz - cy)\hat{i} - (az - cx){j} + (ay - bx){k}$

= (bz – cy)i + (cx – az)j + (ay – bx)k

示例问题

问题 1. 求向量的叉积： $\vec{X}=5\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$和$\vec{Y}= \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}.$

解决方案：

Given: $\vec{X}=5\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k} and \vec{Y}= \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}.$

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 5 & 6 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= (6-2)\hat{i}-(5-2)\hat{j}+ (5-6)\hat{k}$

 $\vec{X}\times \vec{Y}= 4\vec{i}-3\vec{j}- \vec{k}$

问题 2. 求向量的叉积： $\vec{X}=3\hat{i}+2\hat{j}+1\hat{k}and\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

解决方案：

Given: $\vec{X}=3\hat{i}+2\hat{j}+1\hat{k}and\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= \vec{i}-2\vec{j}+ \vec{k}$

问题 3. 求向量的叉积： $\vec{X}=2\hat{i}+2\hat{j}+1\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=2\hat{i}+2\hat{j}+1\hat{k}$ and $\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= \vec{i}-\vec{j}+ 0\vec{k}$

问题 4. 求向量的叉积： $\vec{X}=2\hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k} and \vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 2 & 5\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= -3\vec{i}+3\vec{j}+ 0\vec{k}$

问题 5.求向量的叉积： $\vec{X}=7\hat{i}+6\hat{j}+5\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=7\hat{i}+6\hat{j}+5\hat{k}$ and $\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}.$

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 7 & 6 & 5\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= \vec{i}-2\vec{j}+ \vec{k}$

问题 5. 求向量的叉积： $\vec{X}=7\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=7\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$ and $\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 7 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= -\vec{i}-2\vec{j}+ 3\vec{k}$

问题 6. 求向量的叉积： $\vec{X}=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=3\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}$ and $\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 3 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= -\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$

问题 7. 求向量的叉积： $\vec{X}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$和$\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ .

解决方案：

Given: $\vec{X}=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ and $\vec{Y}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.

$\vec{X}\times \vec{Y} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{X}\times \vec{Y}= -\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}$