限制的正式定义

直观上，函数f(x) 在点 x 处的极限，意味着当一个人向点 x 移动时，该函数似乎正在接近的值。对这些概念的理解导致了微积分的一些基本概念的发展——连续性、导数和积分。存在三种极限——左极限、右极限和两者兼有。使用 epsilon-delta 定义以数学方式更精确地定义限制。让我们看一下在有限极限、无限极限和无穷大极限处的极限定义。

极限直觉

函数f(x) 在特定点 x 处的极限描述了该函数非常接近该特定点的行为。它没有给出该特定点的函数值，它只是给出了似乎在该点出现的值函数。下图显示了一条直线和该函数在点 x = c 处的极限，以图形方式显示。

注意图中，当一个人从左侧或右侧接近点 x = c 时。函数的值在变化。当到达点 c 时，函数的值似乎收敛到 f(c)。

有时函数似乎在限制中具有某些值，而在实际点上具有另一个值。这通常发生在不连续且值跳跃的函数中。例如，考虑下图中给出的函数，

在这个函数中，当从左手边接近时，函数似乎在取值，因此 limit 计算为 L，但函数在该点的实际值是 f(c) = L'。请注意，从右侧接近，极限计算为 f(c) = L'。这证明了函数在特定点的值不必与函数在该特定点的极限相同。

限制的正式定义

让我们考虑一个函数f(x)，该函数定义在包含 x = a 的区间上。 x = a 处的函数极限表示为， $\lim_{x \to a}f(x)$ .这被写为“当 x 趋于 a 时 f(x) 的极限”。请注意，通常用于定义限制的“倾向于”、“接近”等词并不精确，因此不可能用数学方式来写。因此，需要一个定义来形式化这些短语和单词的概念。

构建理念

考虑以下函数案例，

该图显示了函数f(x) 在彼此靠近的三个不同点处的值。 $\delta$表示 x 值的变化，而 ∈ 表示函数在这些点的极限值的变化。这些参数形式化了点彼此非常接近的概念以及像 x 接近点 x = a 这样的短语的含义。因此，使用限制的正式定义可以写下来。

界限的定义

下面给出的定义称为“epsilon-delta”定义。

For the function f(x) defined on an interval that contains x =a. Then we say that,

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

If for every number epsilon(∈) which greater than zero, there is some positive number delta $\delta$ such that,

 | f(x) – L | < ∈ where 0 < |x – a| < $\delta$

定义要表达的意思可以用上图来解释。让我们假设限制不存在。根据定义，我们选择某个数 ∈ > 0。图中的两条水平线代表 L + ∈ 和 L - ∈。在那之后，定义说，还有另一个数字$\delta$ > 0 我们需要确定。它允许我们在图中添加表示 + 的垂直线$\delta$ ， 一种 - $\delta$ .对于区域 I 之间的任何点，

0 < |x — a| < $\delta$

如果我们现在确定我们选择 x 给出的图表上的点，那么图表上的这个点将位于粉红色和黄色区域的交点。现在函数的值将介于，

$|f(x) - L| < \epsilon$

使用定义计算限制

例如，让我们考虑一个函数f(x) = x ² 。使用上面提到的极限定义，证明

$\lim_{x \to 0}x^2 = 0$

对于这种情况，L = 0 和 a = 0。考虑任意数 ∈ > 0。

|x ² – 0| < ∈

⇒|x ² | < ∈

目标是找到一个数字$\delta$ ，这样，

| × ² | < ∈ 其中 0 < |x| < $\delta$

| × ² | < ∈

⇒ |x| < √∈

我们可以选择我们的$\delta$ = √∈

为了验证，应该检查给定条件$\delta$ ，表达式的值变化不应超过 ∈。在这种特殊情况下，这意味着我们需要确保，

$|x^2| < \epsilon$

所以，让我们使用之前导出的结果 |x| < √∈。平方它，

| × ² | < ∈

这就是我们一直在寻找的结果。因此，经过验证。

让我们看看这些概念的一些示例问题。

示例问题

问题 1：对于给定的函数f(x)，求$\lim_{x \to 4}f(x)$

f(x) = $\frac{x + 5}{x}$

解决方案：

Using the substitution rule, 

f(x) = $\frac{x + 5}{x}$

$\lim_{x \to 4}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{x + 5}{x}$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{4 + 5}{4}$

⇒$\frac{9}{4}$

问题 2：对于给定的函数f(x)，求$\lim_{x \to 0}f(x)$

f(x) = $\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

解决方案：

Using the substitution rule, 

f(x) = $\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

$\lim_{x \to 0}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{e^x + e^{-x}}{2cos(x)}$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{e^0 + e^{-0}}{2cos(0)}$

⇒$\frac{1 + 1}{2}$

⇒1

问题 3：对于给定的函数f(x)，求$\lim_{x \to 0}f(x)$

f(x) = $\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

解决方案：

Using the substitution rule, 

f(x) = $\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

$\lim_{x \to 0}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{sin^2(x) + 2cos(x)}{2cos(x)}$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{sin^2(0) + 2cos(0)}{2cos(0)}$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{0 + 2(1)}{2(1)}$

⇒1

问题 4：对于给定的函数f(x)，使用 epsilon delta 定义的极限证明， $\lim_{x \to 2}f(x) = 6$

f(x) = 5x -4

解决方案：

For this case, L = 6 and a = 2. Consider any arbitrary number ∈ > 0. 

|5x -4 – 6 | < ∈

⇒|5x -4 – 6| < ∈

The goal is to find a number $\delta$, such that, 

|5x -4 – 6| < ∈ where 0 < |x – 2| < $\delta$

|5x -4 – 6| < ∈

⇒ 5 | x – 2| < ∈ 

⇒ |x – 2| < $\frac{\epsilon}{5}$

 We can choose our $\delta$ = $\frac{\epsilon}{5}$

For verification, one should check that for the given condition with $\delta$, the value of the expression should not change more than ∈. In this particular case, it means that we need to make sure that, 

|5x -4 – 6 | < ∈

Let’s take the expression and use the derived result. 

⇒ 5 | x- 2| < 5$\frac{\epsilon}{5}$

⇒|5x -4 – 6 | < ∈

问题 5：对于给定的函数f(x)，使用 epsilon delta 定义的极限证明， $\lim_{x \to 0}f(x) = 0$

f(x) = √x

解决方案：

For this case, L = 0 and a = 0. Consider any arbitrary number ∈ > 0. 

|√x – 0| < ∈

⇒|√x| < ∈

The goal is to find a number $\delta$, such that, 

| √x | < ∈ where 0 < |x| < $\delta$

| √x | < ∈

⇒ |x| < ∈²

We can choose our $\delta$ =∈²

For verification, one should check that for the given condition with $\delta$, the value of the expression should not change more than ∈. In this particular case, it means that we need to make sure that, 

|√x| < ∈

So, let’s use the previously derived result |x| < ∈². Taking the square root, 

| √x | < ∈

问题 6：对于给定的函数f(x)，使用 epsilon delta 定义的极限证明， $\lim_{x \to 0}f(x) = 1$

f(x) = e ^x

解决方案：

For this case, L = 1 and a = 0. Consider any arbitrary number ∈ > 0. 

|e^x  – 1| < ∈

⇒|e^x – 1| < ∈

The goal is to find a number $\delta$, such that, 

|e^x – 1| < ∈ where 0 < |x| < $\delta$

|e^x – 1| < ∈ 

⇒ -∈ x – 1 < ∈ 

⇒ 1 -∈ x < ∈ + 1

⇒log (1 – ∈) < x < log(∈ + 1)

Here, ∈ < 1 for the left-hand side inequality to be valid.  

We can choose our $\delta$ =min{log (1 – ∈), log(∈ + 1)} = log(1 + ∈)

For verification, one should check that for the given condition with $\delta$, the value of the expression should not change more than ∈. In this particular case, it means that we need to make sure that, 

|e^x – 1| < ∈ 

So, let’s use the previously derived result

| x- 0 | < $\delta$

⇒$- \delta$ < x < $\delta$

⇒ log (1 – ∈) < x < log(∈ + 1)

⇒ 1 -∈ x < ∈ + 1

⇒-∈ x – 1 < ∈ 

⇒|e^x – 1| < ∈ 

Hence, Proved.