国际空间研究组织 | ISRO CS 2014 | 问题 71

这是一道来自国际空间研究组织的编程问题，以下是问题描述和解决方案。

问题描述

给定一个大小为 n 的数组，每个元素的取值范围为 0 到 k-1。请编写一个函数，将数组原地排序。

函数原型：

def sort_array(arr: List[int], k: int) -> List[int]:

输入：

• arr：大小为 n 的整数数组。
• k：整数，表示每个元素的取值范围为 0 到 k-1。

输出：

• 原地排序后的数组。

解决方案

思路

我们可以使用计数排序（Counting Sort）的思想来解决这个问题。

计数排序是一种稳定性排序算法，其核心思想是统计每个元素出现的次数，然后按照元素大小的顺序重构数组。具体的步骤如下：

1. 创建一个大小为 k 的计数数组 count。
2. 遍历原数组，统计每个元素出现的次数，将结果保存在计数数组中。
3. 构建前缀和数组 sum，sum[i] 表示计数数组中前 i 项元素的和。
4. 遍历原数组，根据元素的取值和前缀和数组计算元素的最终位置。
5. 根据元素的最终位置将其放入辅助数组 temp 中。
6. 将辅助数组 temp 的元素拷贝回原数组中。

具体实现细节可以参考下面的代码实现。

代码实现

from typing import List

def sort_array(arr: List[int], k: int) -> List[int]:
    n = len(arr)
    count = [0] * k
    temp = [0] * n

    # 统计每个元素出现的次数
    for i in range(n):
        count[arr[i]] += 1

    # 计算前缀和
    sum = [count[0]]
    for i in range(1, k):
        sum.append(sum[i-1] + count[i])

    # 计算元素的最终位置，并将其放入辅助数组中
    for i in range(n):
        temp[sum[arr[i]]-1] = arr[i]
        sum[arr[i]] -= 1

    # 将辅助数组的元素拷贝回原数组中
    for i in range(n):
        arr[i] = temp[i]

    return arr

测试样例

我们可以通过以下几组测试样例来测试我们的函数是否正确：

assert sort_array([2, 2, 1, 0, 0, 1], 3) == [0, 0, 1, 1, 2, 2]
assert sort_array([5, 4, 3, 2, 1, 0], 6) == [0, 1, 2, 3, 4, 5]
assert sort_array([0, 1, 2, 3, 4, 5], 6) == [0, 1, 2, 3, 4, 5]
assert sort_array([1], 1) == [1]
assert sort_array([], 0) == []

时间复杂度

计数排序的时间复杂度为 O(n+k)，其中 n 是数组的大小，k 是元素的取值范围。因为我们需要遍历原数组 2 次，所以总时间复杂度为 O(2n+k)。因为 k 是常数级别的，所以最终的时间复杂度可以简化为 O(n)。

空间复杂度

计数排序的空间复杂度为 O(n+k)，其中 n 是数组的大小，k 是元素的取值范围。因为我们需要使用一个大小为 k 的计数数组和一个大小为 n 的辅助数组，所以总空间复杂度为 O(n+k)。因为 k 是常数级别的，所以最终的空间复杂度可以简化为 O(n)。