拼图 |在博物馆切换闭路电视摄像机

一个博物馆配备了 16 个监控闭路电视摄像机，每个摄像机都由不同的开关打开或关闭。
比如说，开关 1 控制 CCTV 摄像机 1，开关 2 控制 CCTV 摄像机 2，……，开关 16 控制 CCTV 摄像机 16。
博物馆的每个单独区域都被多个闭路电视摄像机覆盖，而不是需要，现在无法更改配置。
为了在不影响对博物馆任何区域的监控的情况下满足数据存储的限制，并且由于其他限制，监控经理制定了一个计划，在任何一天开始时切换（打开或关闭）摄像机，因为下面借助开关 1 到 16 的 4×4 表进行解释：

(i) 任何一天的开始，上表中随机选择的任何行或列中的开关都可以一次全部切换（此处切换意味着如果它们昨天打开，它们今天将关闭，反之亦然）。或者，它们中的任何一个都不能被切换。
(ii) 白天不能进行切换。

示例 1：
假设在第 'n' 天所有 16 个摄像机都打开，在第二天 'n+1'，摄像机 5、6、7 和 8 可以关闭，而所有剩余的摄像机都可以打开。在这种情况下，第二行被选择在“n+1”日开始时切换。
示例 2：
假设在一天“n”个摄像头 1 和 5 都打开，而所有其他摄像头都关闭，那么在第二天“n+1”，摄像头 9 和 13 可以打开，而所有剩余的摄像头都可以关闭。在这种情况下，选择第一列在“n+1”天开始时切换。

监控管理器开始运行的第一天（初始条件），摄像机 1、7 和 14 处于关闭状态，而所有其他摄像机均处于打开状态。

题：
a) 是否有可能在几天后，摄像机 10、11、12 和 13 开启，而所有其他摄像机均关闭？
b) 是否有可能在几天后，摄像机 1、2、3、4、5、6 和 7 关闭，而其他所有摄像机都打开？

回答：

a) 没有
b) 否

解决方案：
通过选择一行或一列并尝试达到问题 a) 和 b) 中给定的最终条件来应用每个切换是一项艰巨的任务，因此我们不得不考虑一个策略并仔细观察每次切换后会发生什么，如果可以得到一些线索，这将对我们有所帮助。
由于每个开关只能打开或关闭，我们倾向于通过用 1 和 0 或 + 和 - 符号表示 ON 和 OFF 并观察每次切换后值的总和或符号的乘积会发生什么来解决这个问题。
现在我们意识到 + 和 - 更有帮助，因为任何行或列中的元素数量都是偶数 (4)。因为切换一些正号和一些负号的集合的所有符号都加起来为偶数不会改变其乘积的结果符号。让我们进一步研究这个策略。

示例 – 1 ：集合 {+, -} 中符号的乘积是 -ve。切换后它变为 {-, +} 并且集合中符号的乘积仍然保持不变。

示例 – 2 ：集合 {+, -, +, -} 中符号的乘积是 +ve。切换后它变为 {+, -, +, -} 并且集合中符号的乘积仍然保持不变。

示例 – 3 ：集合 {-, -, +, +, +, +, +, -} 中符号的乘积是 -ve。切换后变为 {+, +, -, -, -, -, -, +} 并且集合中符号的乘积仍然保持不变。

让我们为打开的开关分配正号，为关闭的开关分配负号。那么给定的初始配置如下图所示：

我们知道开关/相机的唯一有效切换是通过选择一行或一列并切换该行或列中的所有开关。由于任何行或列中的开关数量是偶数，因此与前一天存在的该行或列中的符号乘积相比，有效的切换不会改变所选行或列的符号乘积。

我们观察到 4×4 表中所有开关的符号乘积只不过是所有四行或等效地所有四列的乘积的符号乘积。因此，我们还可以推断出整个表中所有开关在有效切换之前和之后的符号乘积保持不变。
下图中的示例说明了这一点：

为了回答 a) ，我们观察到在给定的初始配置中，整个表的符号乘积为 -ve ，如上图左侧所示。
所寻求的最终配置使摄像机 10、11、12 和 13 处于打开状态，而所有其他摄像机处于关闭状态。这可以按照我们的符号分配策略来说明，如下所示：

如上所示，整个表的符号乘积为+ve。
因此，无论多少天（多少次有效切换），都无法获得最终配置，因为整个表的符号的初始乘积是-ve ，整个表的符号的最终乘积是+ve 。

回答 b) ，如果我们尝试整个表的符号乘积的先前方法，它没有帮助，因为 1、2、..、7 为 OFF 而其他所有为 ON。这意味着最终配置具有整个表的符号乘积是-ve ，这与初始配置的整个表的符号乘积相同。因此，看起来获得 b) 中的配置是可能的，但要证明我们需要找到一系列切换来实现这一点。但是在我们开始这项任务之前，让我们尝试一下，如果我们能找到一个不同的开关集合，它不会改变它的符号乘积，并且有助于解决这部分问题。

我们可以将替代行的集合视为我们选择的候选者。也就是说，Row-1 和 Row-3 的所有符号称为奇数集合，Row-2 和 Row-4 的所有符号称为偶数集合。尽管有效的切换不会更改该集合中所有标志的乘积，但这些集合有一个缺点。例如，切换第 2 行对奇数集合没有任何影响。

因此，让我们将两个区域想象成棋盘图案。由于我们在每行和每列中有 4 个开关，因此每行或每列中相同颜色的开关数量为 2，这又是偶数。所以，这个思考过程可能会有所帮助。完整的表格分为两个区域“白色区域”和“绿色区域” ，如下所示。

我们可以观察到
i) 任何有效的切换都不会改变白色区域所有符号的乘积
i) 任何有效的切换都不会改变绿色区域所有标志的乘积

下图中通过切换列的示例对此进行了说明。

上图左边的配置其实对应的是初始配置，在 GREEN 区域有一个+号，在 WHITE 区域有一个-号。
b) 部分所需的最终配置（摄像机 1、2、3、4、5、6 和 7 处于关闭状态，而所有其他摄像机处于打开状态）在绿色区域有一个 - 符号，在白色区域有一个 + 符号，如下所示：

由于 GREEN 区域在初始配置和最终配置中具有不同的符号，而 WHITE 区域在初始配置和最终配置中也具有不同的符号，因此在任何天数后都无法获得此最终配置。

这个问题和解决方案是基于“不变性原理”。

当事情看似在不断变化时，寻找哪些核心价值观（尽管隐藏）没有变化。