拼图 | 8球问题

Introduction

拼图和8球问题都是面试中经典的算法题。拼图是指将一系列方块拼接成一个完整的图片的问题，8球问题则是指在一个3x3的棋盘上，移动8个方块，使其从初始状态变为目标状态的问题。

Algorithm

拼图

拼图问题可以使用深度优先搜索算法（DFS）来解决。具体来说，首先枚举所有可能的拼图状态（也可以使用广度优先搜索算法BFS来实现），然后判断该状态是否合法，最后判断该状态是否为目标状态，如果是，则返回结果。由于枚举所有状态的复杂度很高，因此可以对状态进行剪枝，例如记录已经访问过的状态，或者使用启发式搜索算法。

8球问题

8球问题可以使用A算法来解决。A算法比DFS和BFS更加高效，因为它使用了启发式函数，可以对搜索过程进行优化。具体来说，A算法将搜索空间看作一个图，在图中搜索从初始状态到目标状态的最短路径，其中所谓的最短路径是指从初始状态到当前状态的代价加上从当前状态到目标状态的代价的和最小的路径。启发式函数是A算法的关键，它用来估计当前状态到目标状态的代价。常见的启发式函数包括曼哈顿距离和欧几里得距离。在8球问题中，曼哈顿距离可以衡量当前状态与目标状态之间的距离。

Implementation

拼图

以下是一个使用DFS解决拼图问题的Python代码片段：

def dfs(status, target, visited):
    if status == target:
        return True
    visited.add(status)
    for next_status in next(status):
        if next_status not in visited:
            if dfs(next_status, target, visited):
                return True
    return False

visited = set()
if dfs(initial_status, target_status, visited):
    print("Can reach target status.")
else:
    print("Cannot reach target status.")

其中next(status)表示以当前状态status为基础生成下一个拼图状态的函数，例如旋转或翻转。visited记录已经访问过的状态，这样可以避免重复搜索，也可以有效地实现剪枝。

8球问题

以下是一个使用A*算法解决8球问题的Python代码片段：

import heapq

def A_star(initial_status, target_status, heuristic):
    q = [(heuristic(initial_status, target_status), initial_status, [])]
    visited = set()
    while q:
        _, current, path = heapq.heappop(q)
        if current == target_status:
            return path
        visited.add(current)
        for next_status in next(current):
            if next_status not in visited:
                next_path = path + [next_status]
                f = len(next_path) + heuristic(next_status, target_status)
                heapq.heappush(q, (f, next_status, next_path))
    return None
    
def manhattan_distance(status, target):
    total = 0
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            value = status[i][j]
            if value != 0:
                row, col = divmod(target.index(value), 3)
                total += abs(row - i) + abs(col - j)
    return total

initial_status = [[2, 8, 3], [1, 6, 4], [7, 0, 5]]
target_status = [[1, 2, 3], [8, 0, 4], [7, 6, 5]]
path = A_star(initial_status, target_status, manhattan_distance)
if path:
    print("Steps required:", len(path))
else:
    print("Cannot reach target status.")

其中heuristic(status, target)表示估计当前状态到目标状态的代价，这里采用曼哈顿距离作为启发式函数。next(status)表示以当前状态status为基础生成下一个状态的函数，例如移动方块。path是从初始状态到当前状态的路径。由于A*算法需要多次访问每个状态，因此使用优先队列（堆）来进行搜索，堆中的每个元素包含了一个估价函数值、当前状态和从初始状态到当前状态的路径。当搜索到目标状态时，返回从初始状态到目标状态的路径。如果搜索完整个状态空间仍无法到达目标状态，则返回None。