最小化最大为K的整数的替换，以使从末尾开始的等距数组元素的总和相等

问题描述

给定一个长度为N的正整数数组，将其中的一些元素进行替换，使得从末尾开始，每隔一个元素的和相等，并且被替换的所有元素都是正整数且不超过K。要求最小化被替换的元素个数。

解决方法

题目中要求从末尾开始每隔一个元素的和相等，可以根据这个特点判断出，如果这个数组中满足上述条件，每隔的距离一定是len(nums)的一个因数。根据这个特点，可以先求出len(nums)所有的因数，然后挨个判断是否满足条件。

我们可以从len(nums)的最小因数开始枚举，如果某个因数不满足条件，则向上枚举，直到找到满足条件的因数为止。具体的实现过程可以用递归实现，其中递归的参数包含以下信息:

1. 数组nums
2. 选中的因数divisor
3. 当前的前缀和total
4. 当前替换的元素个数cnt
5. 统计替换元素个数的数组replace

对于每个参数的作用，我们可以详细解释如下:

1. 数组nums: 用于计算前缀和

2. 选中的因数divisor: 表示当前的因数

3. 当前的前缀和total: 表示到当前位置的前缀和，用于比较是否满足条件

4. 当前替换的元素个数cnt: 记录当前替换的元素个数

5. 统计替换元素个数的数组replace: 用于记录每个位置需要替换的元素个数，并返回给上一层递归

在递归的过程中，需要首先判断当前的前缀和是否等于目标和，如果是，则直接返回cnt；如果不是，需要继续往后替换元素。

对于当前位置，我们可以选择替换或者不替换，如果不替换，则直接更新前缀和为total-nums[i]，cnt不变；如果替换，则更新前缀和为total-(nums[i]+1)，cnt+1，并将replace[i]加1。

在递归的过程中，如果发现前缀和已经小于目标和，可以直接返回一个很大的值，表示当前的方案不可行，需要重新枚举其他的因数。

在枚举完所有因数后，可以得到所有的cnt值，取其中的最小值作为答案即可。

代码实现

from typing import List

def dfs(nums: List[int], divisor: int, total: int, cnt: int, replace: List[int]) -> int:
    if total < 0:
        return float('inf')
    if total == 0:
        return cnt
    if divisor == 0:
        return float('inf')
    res = float('inf')
    for i in range(len(nums)):
        res = min(res, dfs(nums[:i] + [nums[i]+1] + nums[i+1:], divisor-1, total-nums[i]-1, cnt+1, replace))
        replace[i] += 1
        res = min(res, dfs(nums, divisor, total, cnt, replace))
        replace[i] -= 1
    return res

def min_equal_sum(nums: List[int], k: int) -> int:
    total = sum(nums)
    factors = []
    for i in range(1, len(nums)+1):
        if len(nums) % i == 0:
            factors.append(i)
    for d in factors:
        if dfs(nums, d, total//d, 0, [0]*len(nums)) <= k:
            return d
    return -1

性能分析

时间复杂度：枚举len(nums)的每个因数，总的时间复杂度为O(N^2logN)

空间复杂度：O(N)

参考资料

leetcode官网

算法杂货铺