最小化更改以转换为根为 1 的树，偶数左孩子和奇数右孩子

介绍

在计算机科学中，二叉树是一种基本的数据结构，它可以用来表示层次结构，例如计算机文件目录、Web网站、社交网络中的用户和群组等。而将一棵任意形状的树转换成以根为1的树，并且保持偶数节点的左孩子和奇数节点的右孩子，是一个经常面临的问题。

本文将介绍如何对一棵树进行最小化的更改，以满足以上要求。我们将讨论问题的一般性质、树的遍历技巧以及应用。本文中的代码将由Python实现。

问题的性质

给定一棵n个节点的树T，我们需要对其进行最小化的修改，使得该树T变为一棵二叉树且满足偶数节点的左孩子和奇数节点的右孩子。

不难看出，当且仅当n为偶数时，该问题有解。此外，我们注意到一些简单的性质：

1. 根节点必须变为1，因为它无法修改其父节点。
2. 如果在某个节点i处，它的左孩子的编号为2j和右孩子的编号为2j+1，那么我们应该将它左孩子和右孩子交换，即将编号为i2j的节点与i(2j+1)的节点交换。
3. 该问题可以通过在深度优先遍历树T的过程中，对每个节点执行一些操作来解决。具体来说，我们需要在遍历一个节点i的左孩子之前，将它的右孩子编号加1，以便它与它左孩子的编号形成奇偶对。同样地，在遍历节点i的右孩子之前，我们将它的左孩子编号减1，以便它与它右孩子的编号形成奇偶对。

树的遍历技巧

为了实现上述的算法，我们需要遍历树T，并在访问每个节点时执行一些操作。具体来说，我们将使用深度优先遍历。

深度优先遍历的方法很简单。我们首先访问根节点，然后递归地遍历每个子节点。在递归过程中，我们可以记录每个节点的深度，以便我们知道它是奇数还是偶数。最后，在递归返回到父节点的时候，我们可以进行一些操作。

树的深度优先遍历可以通过以下代码实现：

def dfs(node, depth, parent):
    # Visit the node and do some operations
    for child in node.children:
      if child != parent:
          dfs(child, depth + 1, node)
    # Do some operations before returning from the recursive call

其中，node表示当前正在访问的节点对象，depth表示当前节点的深度，parent表示当前节点的父节点对象。在访问一个节点之前，我们可以查询它的编号是否为偶数或奇数，并据此执行一些操作。

应用

我们可以将上述算法应用于以下问题：

问题一：统计树中奇偶深度节点个数的差值

给定一棵n个节点的树T，我们需要计算树的奇偶深度节点个数的差值。并且将这一差值最小化，使得树变成一棵二叉树且满足偶数节点的左孩子和奇数节点的右孩子。

class Node:
    def __init__(self, val, children=None):
        self.val = val
        self.children = children or []

def even_odd_tree(root: Node) -> int:
    evens = odds = 0
    def dfs(node, depth, parent):
        nonlocal evens, odds
        if depth % 2 == 0:
            evens += 1
        else:
            odds += 1
        for child in node.children:
            if child != parent:
                c = dfs(child, depth+1, node)
        return node

    dfs(root, 0, None)
    return abs(evens-odds) % 2 == 0

在以上代码中，我们使用了Node类来表示树中的节点。我们首先定义了两个变量even和odds，用于记数抵达的奇偶深度节点的数目。在遍历每个节点时，我们增加even或odds计数器，具体取决于当前深度是偶数还是奇数。最后返回偶数节点计数和奇数节点计数的差的绝对值是否为偶数即可。

问题二：计算树的深度

使用上述算法，我们可以顺便计算树的深度：

class Node:
    def __init__(self, val, children=None):
        self.val = val
        self.children = children or []

def depth(root: Node) -> int:
    d = 0
    def dfs(node, depth, parent):
        nonlocal d
        if depth > d: d = depth
        for child in node.children:
            if child != parent:
                dfs(child, depth+1, node)
        return node

    dfs(root, 0, None)
    return d

在以上代码中，我们定义了一个变量d，表示深度最大值。在遍历每个节点时，我们检查深度是否大于d，并相应地更新它。最后返回变量d的值即可。

问题三：将树转换为二叉树

现在我们可以将上述算法应用于转换一棵任意形状的树为一棵左偶右奇（LORO）的二叉树：

class Node:
    def __init__(self, val, children=None):
        self.val = val
        self.children = children or []

def to_binary_tree(root: Node) -> None:
    def dfs(node, depth, parent):
      if depth % 2 == 0:
          i = 0
          for child in list(node.children):
              if child != parent:
                  dfs(child, depth+1, node)
                  if i % 2 != 0:
                      node.children.insert(i-1, node.children.pop(i))
              i += 1
      else:
          i = len(node.children) - 1
          while i >= 0:
              child = node.children[i]
              if child != parent:
                  dfs(child, depth+1, node)
                  if i % 2 != 1:
                      node.children.insert(i+1, node.children.pop(i))
              i -= 1

    dfs(root, 0, None)

在以上代码中，我们定义了一个函数to_binary_tree，用于将给定的树转换为LORO二叉树。在遍历每个节点时，我们使用深度优先搜索和一些小技巧来正确地调整左右孩子。最后返回进行操作后的树即可。

总结

以上就是将一棵任意形状的树转换为以根为1的LORO二叉树所需的算法和技巧。这个问题很常见，并且它有多种应用。我们可以使用深度优先搜索和一些小技巧来实现它。我们先遍历每个节点，计算它是奇数深度还是偶数深度，然后执行一些操作，以便它的孩子节点符合我们所要求的条件。最终，我们可以将任意形状的树转换为一棵二叉树，并且保持它的 LORO 型态。