两个给定阵列之间的最大未交叉线数

问题描述

给定两个长度相等的阵列A和B，阵列元素都为整数。我们可以将两个阵列（其中每个阵列的元素在同一个阵列中不能交叉）连接成一个阵列C，连接后的阵列为A+B。对于连接后的阵列C，定义一条线是连续的一段阵列元素，且这个连续段在A中的长度与在B中的长度相等。这条线被称为未交叉线。请写一个函数，计算A和B两个阵列之间的最大未交叉线数。

例如，给定两个阵列A = [1, 4, 2] 和 B = [4, 3, 2]，则A+B = [1, 4, 2, 4, 3, 2]。在连接后的阵列中，有两条未交叉线[1, 4]和[2, 4]。因此，两个阵列A和B之间的最大未交叉线数为2。

思路分析

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

我们可以定义一个二维矩阵dp[i][j]，其中i和j分别表示A和B中当前位置的索引。矩阵中的每个元素表示在阵列A的前i个元素和阵列B的前j个元素中的最大未交叉线数。

为了求解dp[i][j]，我们需要考虑以下两种情况：

1. 如果A[i-1] != B[j-1]，则当前位置没有未交叉线：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。

2. 如果A[i-1] == B[j-1]，则当前位置有两种选择：

   • 选择当前位置作为未交叉线的结尾：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
   • 不选择当前位置，仍然保留历史最大值：dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])。

最终，dp[m][n]的值就是两个阵列之间的最大未交叉线数，其中m和n分别是两个阵列的长度。

代码实现

def max_uncrossed_lines(A, B):
    m, n = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if A[i-1] == B[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])
    return dp[m][n]

示例

A = [1, 4, 2]
B = [4, 3, 2]
print(max_uncrossed_lines(A, B))  # Output: 2

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别是两个阵列的长度。这是因为我们需要填充一整个二维矩阵dp。