查找良好排列的数量

良好排列是指一个由1到N排列组成的序列，其满足以下两个条件：

1. 序列中的每个数都在 1到N 的范围内。
2. 以任意整数 k (1<=k<=(N+1)/2) 为间隔选出的数均不相同。

编写一个程序，输入一个整数N，输出由1到N排列组成的所有良好排列的个数。

算法分析

对于一个良好排列，对于任意整数k（1<=k<=(N+1)/2），取出的数不会重复。所以可以将序列分成若干个组，每个组中都是以k为间隔的数。

对于k=1，序列就被分成了N个组，每个组中都只有同一个数，每个组内的数可以任意排列，所以有N!种排列。

对于k=2，序列就被分成了(N+1)/2组，每组中相邻两个数相距2，由于N为偶数时最中间的两个数也相距2，这时需要把它们也分在一组里。同样可以知道，每一组中的数可以任意排列，所以有(N/2)!^(N/2) * 2^((N+2)/2)种排列。（N/2)!^(N/2)表示每个组内的数可以任意排列的方案数，2^((N+2)/2)表示把所有的组分成两组的方案数，其中分成两组的组数为(N+2)/2。

依次类推，对于k=3、k=4...直到k=(N+1)/2，都可以求出每个k对答案的贡献，最后把这些贡献加起来就是答案了。

时间复杂度为O(N*(N/2)^2)。

代码实现

下面是一份 Python 代码实现，假设输入的整数为 N。

import math


def count_good_permutations(n: int) -> int:
    ans = 0
    for k in range(1, (n + 1) // 2 + 1):
        cnt = n // k
        if n % k != 0:
            cnt += 1
        tmp = math.factorial(cnt - 1) * pow(math.factorial(cnt - 2), cnt - 1)
        ans += tmp
    return ans


if __name__ == '__main__':
    n = int(input().strip())
    print(count_good_permutations(n))

返回的结果为一个整数，表示良好排列的数量。

总结

本文介绍了如何计算由1到N排列组成的所有良好排列的个数，通过对序列中每个数的间隔进行分析，可以得到每个间隔对结果的贡献，最后把它们加起来就是答案了。这个问题相对比较复杂，但还是有一定的规律可循的。在实际应用中，类似的思路也可以应用到其他问题中。