逆排列

逆排列（Permutation Inversion）可以定义为一个排列中的逆序对个数。逆序对指的是排列中一个数后面比它小的数的个数。举个例子，对于排列[4，3，1，2]，它的逆序对个数为7，因为：

• 数字4后面比它小的数：3，1，2
• 数字3后面比它小的数：1，2
• 数字1后面比它小的数：没有
• 数字2后面比它小的数：没有

因此逆序对为7。计算逆序对在许多算法中都有应用，包括归并排序和离散数学。

归并排序求逆序对

归并排序的主要思路是将一个序列不断递归地拆分为最小单元，然后再将这些单元合并起来得到有序序列。在这个过程中，我们可以记录下每次合并操作过程中的逆序对数目，当整个序列合并完成后，逆序对数目也就求出了。

以下为Python实现代码：

def count_inversion(arr):
    def count_split(left, right):
        i = j = count = 0
        result = []
        while i < len(left) and j < len(right):
            if left[i] <= right[j]:
                result.append(left[i])
                i += 1
            else:
                result.append(right[j])
                j += 1
                count += len(left) - i
        result.extend(left[i:])
        result.extend(right[j:])
        return result, count

    def merge_sort(nums):
        if len(nums) <= 1:
            return nums, 0
        mid = len(nums) // 2
        left, l_count = merge_sort(nums[:mid])
        right, r_count = merge_sort(nums[mid:])
        merged, s_count = count_split(left, right)
        return merged, l_count + r_count + s_count

    _, count = merge_sort(arr)
    return count

离散数学求逆序对

我们可以用组合数的方式来计算逆序对数目，这个过程需要用到离散数学的知识。

假设有一个排列$P$和它的逆序对数目为$i$。那么对于排列$P$中的任意一个数$P_i$，它后面比它小的数有$k$个，所以我们可以认为这个数与之前$i-k$个数都构成了逆序对。也就是说，每个数都会构成$i-k$个逆序对，所以整个排列$P$的逆序对数目就是所有数构成逆序对个数的总和，即：

$$Count(P) = \sum_{i=1}^{n} (i-1-C_{P_i}^{i-1})$$

其中，$C_n^m$表示组合数。

以下为Python实现代码：

from math import comb

def count_inversion(arr):
    count = 0
    for i, num in enumerate(arr):
        count += i - comb(num, i, exact=True)
    return count

总结

逆排列是排列中的一个重要指标，在算法中可以应用到许多场景中。归并排序和离散数学都可以用来计算逆序对数目，不同的算法实现方式有所不同，但都有保证正确性的数学原理。在实际应用中，可以根据数据规模和场景选择最适合的算法。