该方法背后的基本思想是猜测答案,然后通过归纳证明其正确。此方法可用于解决任何复发。如果猜出了解决方案,然后尝试以归纳方式验证我们的猜测,通常要么证明成功(在这种情况下我们就完成了),要么证明失败(在那种情况下失败将帮助我们完善我们的猜测)。
例如,考虑重复发生: 。这不符合大师定理要求的形式。仔细观察递归会给我们一个印象,它类似于分而治之的方法(将问题分为√N个子问题,每个子问题的大小为√N )。可以看出,在第一递归级别上,子问题的大小为N。所以,让我们猜测 ,然后尝试证明猜测是正确的。
让我们首先尝试证明一个上限:
最后的不平等仅假设 。如果N足够大并且对于任何常数c,无论多么小,这都是正确的。
从上面的证明中,我们可以看到我们的猜测对于上限是正确的。现在,让我们证明这种重复发生的下界:
最后的不平等仅假设 。如果N足够大并且对于任何常数k,这都是不正确的。
从上面的证明中,我们可以看到我们的猜测对于下限是不正确的。
从以上讨论可以理解, 太大了但是怎么样 ?下界很容易直接证明:
现在,让我们证明这个Θ(N)的上限:
从以上归纳,可以理解为太小了太大了因此,我们需要大于N且小于N的东西 ?怎么样 ?
证明的上限 :
证明下界 :
最后一步不起作用。所以, 不起作用。 N和之间还有什么 ?怎么样 ?
证明的上限 :
证明下界 :
从以上证明,可以看出和 。
从技术上讲,我们在两个证明中仍然缺少基本案例,但是在这一点上我们可以相当有信心 。