数字类型
- 整数：小数部分为0(零)的所有数字(例如-3，-2、1、0、10、100)都是整数。
- 自然数：对数字进行计数，例如1、2、3、4、5、6…基本上，所有大于0的整数都是自然数。
- 整数：所有自然数和0(零)是整数。
- 质数：所有只有两个不同因素的数字，即数字本身和1，称为素数。一些质数是2、3、53、67和191。
- 合成数：所有大于1的非质数都是合成数。一些复合数字是4、60、91和100。
素数上的重要要点
- 1既不是素数，也不是复合数。
- 2是唯一的偶数。
- 有25个小于100的素数。它们是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67， 71、73、79、83、89、97。
- 要检查数字“ p”是否为质数，请找到一个数字“ n”，使“ n”是满足n 2 > = p的最小自然数。现在，检查“ p”是否可被小于或等于“ n”的任何质数整除。如果“ p”不能被任何此类质数整除，则“ p”为质数。否则，p不是质数。
- 互素数：如果两个数字“ a”和“ b”的最高公因子(HCF)为1，则称为互素数。
可除性测试
- 整除通过2：一些是由2整除如果最后一位数字是任何的0，2，4，6，8。
- 整除通过3：一些是被3整除如果其数字的总和是3。例如整除，12321是由3因为1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9，图9是被3整除整除。
- 整除通过4：一些是被4整除，如果最后两个数字是整除4。例如，1234是不被4整除的最后两个数字34不整除4.但是，1232是被4整除的后两位数字32可被4整除。
- 整除通过5：一些是由5整除如果最后一个数字为0或5。
- 可被6整除：如果一个数字可被2和3整除，则该数字可被6整除。例如，数字114可被2(最后一位为4)和3(1 + 1 + 4 = 6、6可被3整除。
- 被7整除：如果重复执行以下步骤，直到7位可整除，直到剩下一位数字离开一位数字为0或7。(1)删除最后一位数字。 (2)从步骤1之后获得的数字中减去最后一位数字的两倍(最后一位数字已删除的数字)。例如，给定数字为196。除去最后一位数字后，我们得到19。减去12(除去数字的两倍)后，我们得到7。由于最后一位数字是7，所以数字是7的倍数。
- 整除通过8：一些是被8整除，如果最后三个数字为整除8。例如，1234是不能被8整除作为最后三位数字234是不整除8.但是，1232是被8整除作为后三位数字232可被8整除。
- 整除通过9：一些是由9整除如果其数字的总和是9。例如整除，12321是由3因为1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9，图9是由9整除整除。
- 整除通过11：一些是由11整除如果在偶数位置和奇数位置数之和之间的差为0或11的倍数。
注意：如果“ p”和“ q”是互质数，并且我们有一个可被“ p”和“ q”整除的数字“ n”，那么“ n”将被px q整除。
例如，48可被3和8整除，也可被3 x 8 = 24整除。
但是，如果“ p”和“ q”不是互质的，则不必假设pxq可将“ n”整除，因为“ n”可被“ p”和“ q”整除。例如，144可被8和12整除(不是互质)，但不能被8 x 12 = 96整除。
分割定理
- 股息=(除数x商)+余数
- 对于所有n值，(x n – a n )可被(x – a)整除。
例如，对于n = 2，x 2 – a 2 =(x – a)(x + a)，可以被(x – a)整除。
同样，对于n = 3，x 3 – a 3 =(x – a)(x 2 + a 2 + xa)，可被(x – a)整除。 - (x n – a n )对于n的所有偶数都可以被(x + a)整除。
例如，对于n = 2，x 2 – a 2 =(x – a)(x + a)，可以被(x + a)整除。
类似地，对于n = 3，x 3 – a 3 =(x – a)(x 2 + a 2 + xa)，这不能被(x + a)整除。 - 对于n的所有奇数值，(x n + a n)可被(x + a)整除。
例如，对于n = 3，x 3 + a 3 =(x + a)(x 2 + a 2 – xa)，可以被(x + a)整除。
样本问题
问题1：当一个数字依次除以2、3、7时，我们分别得到1、2、3作为余数。最小的数字是多少?
解决方案：该数字的形式为2a + 1、3b + 2、7c + 3。因此，我们将c = 1并进行如下操作： 
基本上，我们将除数与上一阶段的结果相乘，然后加上相应的余数。
7 x 1 + 3 = 10
3 x 10 + 2 = 32
2 x 32 +1 = 65
因此，65是必需的答案。
注意：如果我们更改除数的顺序，答案将有所不同。对于最小的数字，请按降序排列除数。
问题2：当一个数字依次除以2、4、8时，我们分别得到1，1，0作为余数。最小的数字是多少?
解决方案：以与上述问题类似的方式进行，
8 x 1 + 0 = 8
4 x 8 +1 = 33
2 x 33 +1 = 67
因此，67是必需的答案。
问题3：下式中“ B”的最大值是多少?
1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
1035
--------
解决方案：仅数字的最左边部分可以是两个或多个数字。因此，我们将答案拆分为：
1 2 B
+ B 4 C
+ C 6 7
--------
10 3 5
--------
现在，从第1列中，我们可以轻松推断B + C = 8。
首先，让我们考虑B + C =18。只有当B = C = 9时，才可能出现这种情况。因此，等式为129 + 949 + 967 = 2045，但是我们需要1035作为答案。因此，这不是必需的情况。
因此，B + C =8。对于最大的“ B”，我们将C =0。因此，B = 8。
现在，为了验证我们的答案，我们在给定的方程式中设置B = 8和C = 0。
1 2 8
+ 8 4 0
+ 0 6 7
--------
10 3 5
--------
因此，我们的答案B = 8是正确的。
问题4：以下哪个是质数?
(i)247
(ii)397
(iii)423
解决方案 ：
(i)16 2 = 256>247。小于16的质数是2、3、5、7、11、13和247可被13整除。因此，247不是质数。它是一个复合数字。
(ii)20 2 = 400>397。小于20的质数是2、3、5、7、11、13、17、19，但397不能被这些整数整除。因此，397是质数。
(iii)21 2 = 441>423。小于21的质数是2、3、5、7、11、13、17、19和423可被3整除。因此，423不是质数。它是一个复合数字。
问题5：在乘积(17) 153 x(31) 62中找到单位的数字。
解决方案：给定方程式的单位位数将与方程式7 153 x 1 62的单位位数相同。
现在，当我们逐渐增加7的幂时，我们需要在单位的数字中找到一个模式。7 1给出7、7 2给出9、7 3给出3、7 4给出1。因此，在第四次幂时，我们得到单位的数字为1。因此，为了使我们的工作变得容易，我们需要以4的倍数写原始幂(153)，并尽可能接近。我们将此乘方(4)乘以一个数字，使之最接近153。因此，4 x 38 = 152，而7 152在单位位置也有1。
现在，(17) 153在单元位置具有7，而(31) 62在单元位置具有1。
因此，问题简单地减少到7 x 1 = 7。
因此，单位的位数为7。
问题6：在(17) 153 +(31) 62中找到单位的数字。
解决方案：给定方程式的单位位数将与方程式7 153 +1 62的单位位数相同。
现在，当我们逐渐增加7的幂时，我们需要在单位的数字中找到一个模式。7 1给出7、7 2给出9、7 3给出3、7 4给出1。因此，在第四次幂时，我们得到单位的数字为1。因此，为了使我们的工作变得容易，我们需要以4的倍数写原始幂(153)，并尽可能接近。我们将此乘方(4)乘以一个数字，使之最接近153。因此，4 x 38 = 152，而7 152在单位位置也有1。
现在，(17) 153在单元位置具有7，而(31) 62在单元位置具有1。
因此，问题简单地减少到7 +1 = 8。
因此，单位数字为8。
问题7：在表达式(14) 11 x(7) 2 x(11) 3中找到素数的总数。
解决方案： (14) 11 x(7) 2 x(11) 3 =(2 x 7) 11 x(7) 2 x(11) 3 =(2) 11 x(7) 11 x(7) 2 x( 11) 3 =(2) 11 x(7) 13 x(11) 3
因此，素数总数= 11 + 13 + 3 = 27
问题8：应该用哪些数字代替*和＃，以便数字8386和8都可以将数字12386 *＃整除?
解决方案：由于给定的数字应被5整除，因此必须用0或5代替＃。但是，以5结尾的数字永远不能被8整除。因此，0将替换＃。
现在，由后三位数字组成的数字为6 * 0，如果将*替换为0或4或8，则该数字将被8整除。
因此，代替*和＃的数字分别为0或4或8和0。
问题9：必须从9999中减去最少的数字才能使其完全被19整除?
解决方案：将9999除以19，我们得到5作为余数。因此，要减去的数字= 5。
问题10：要使其完全被19整除，必须加到9999上的最小数字是多少?
解决方案：将9999除以19，我们得到5作为余数。因此，要添加的数字= 19 – 5 = 14。
问题11：一个数字除以340会得到余数47。如果将同一数字除以17，则余数是多少?
解决方案：该数字的形式为340a + 47 = 17 *(20a)+ 17 *(2)+ 13 = 17 *(20a + 2)+ 13。
因此，将该数字除以17，我们将得到13作为余数。
问题12：求3 21除以5的余数。
解决方案： 3 4 =81。因此，单位数字3 4为1。
因此，单位数字3 20 = 1，因此单位数字3 21 = 1 * 3 = 3。
3除以5时得到3作为余数。
因此，将3 21除以5的余数为3。
数字问题|套装2
数字测验
本文由Nishant Arora提供