分组数据的均值，中位数和模式

假设我们要比较两所学校的学生年龄，并确定哪所学校的学生年龄更大。如果我们根据个别学生进行比较，我们将无法得出任何结论。但是，如果对于给定的数据，我们得到代表数据特征的代表值，则比较变得容易。

代表整个数据并表示其特征的某个值称为数据的平均值。三种类型的平均值可用于分析数据。

他们是：

(我是说

(ii)中位数

(iii)模式

在本文中，我们将研究三种类型的平均值以进行数据分析。

吝啬的

观测值的平均值(或平均值)是所有观测值的总和除以观测总数。

数据的平均值由x = f ₁ x ₁ + f ₂ x ₂ +…….. + f _n x _n / f1 + f2 +……….. + fn给出

Mean Formula is given by 

Mean= ∑(f_i.x_i)/∑f_i

计算均值的方法

方法1：直接计算均值的方法

步骤1：对于每个类别，找到类别标记x _i ，为

x = 1/2(下限+上限)

步骤2：计算F _I .X_我对于每个i。

步骤3：使用公式Mean = ∑(f _i .x _i )/ ∑f _i

示例：找到以下数据的平均值。

Class Interval	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
Frequency	12	16	6	7	9

解决方案：

We may prepare the table given below:

Mean=∑(f_i.x_i)/∑f_i = 1100/50 = 22

方法2：假定–均值计算均值的方法

为了计算这种情况下的均值，我们按以下步骤进行。

步骤1：对于每个类别间隔，使用以下公式计算类别标记x： x _i = 1/2(下限+上限)。

步骤2：选择合适的均值并在中间用A. x表示，作为假设均值并在A中表示。

步骤3：计算每个i的偏差d _i =(x，-A)。

步骤4：计算每个i的乘积(f _i xd _i)。

步骤5：找出n = ∑f _i

步骤6：使用以下公式计算平均值x： X = A + ∑f _i d _i / n

示例：使用假设均值方法，找到以下数据的均值：

Class Interval	Frequency  fi	Class Mark xi	( fi.xi )
0-10	12	5	60
10-20	16	15	240
20-30	6	25	150
30-40	7	35	245
40-50	9	45	405
	∑fi=50		∑fi.xi=1100

解决方案：

Let A=25 be the assumed mean. Then we have,

Mean = X = A+ ∑f_id_i/n = (25+110/50)=27.2

方法3：逐步偏离法计算均值

当x和f的值较大时，通过上述方法进行均值的计算变得繁琐。在这种情况下，我们将使用下面给出的逐步偏离方法。

步骤1：对于每个班级间隔，计算班级标记x，其中X = 1/2(下限+上限)。

步骤2：在x列的中间选择一个合适的x值作为假设均值，并用A表示。

步骤3：计算h = [(上限)-(下限)]，所有类均相同。

步骤4：为每个类别计算u _i =(x _i -A)/ h。

步骤5：为每个类别计算fu，从而找到∑(f _i xu _i )。

步骤6：使用以下公式计算平均值： x = A + {hx ∑(f _i xu _i )/ ∑f _i }

示例：找到以下频率分布的平均值：

Class Interval	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
Frequency	7	8	12	13	10

解决方案：

We prepare the given table below,

A=100, h=20, ∑f_i=100 and ∑(f_i x u_i)=61

x = A + {h x ∑(f_i x u_i) / ∑f_i}

  =100 + {20 + 61/100} = (100+12.2) =112.2

中位数

我们首先以升序排列观测数据的给定数据值。然后，如果n为奇数，则中位数为(n + 1/2)。如果n是偶数，则中位数将是第n / 2个和第(n / 2 +1)个观测值的平均值。

Formula for Calculating Median:

Median, M_e = l + {h x (N/2 – cf )/f}     

where, 

l = lower limit of median class.

h=width of median class.

f = frequency of median class, 

cf = cumulative frequency of the class preceding the median class.

N = ∑f_i

示例：计算以下频率分布的中值。

Class Interval	Frequency fi	Mid value xi	Deviation di=(xi-25)	(fixdi)
0-10	7	5	-20	-140
10-20	8	15	-10	-80
20-30	12	25=A	0	0
30-40	13	35	10	130
40-50	10	45	20	200
	∑fi=50			∑(fixdi)=100

解决方案：

We may prepare cumulative frequency table as given below,

Class	Frequency	Cumulative Frequency
0-8	8	8
8-16	10	18
16-24	16	34
24-32	24	58
32-40	15	73
40-48	7	80
	N=∑fi=80

Now, N = 80 = (N/2) = 40. 

The cumulative frequency just greater than 40 is 58 and the corresponding class is 24-32. 

Thus, the median class is 24-32. 

 l = 24, h = 8, f = 24, cf = c.f. of preceding class = 34, and (N/2) = 40.

Median, M_e = l+ h{(N/2-cf)/f}

                    = 24+8 {(40 – 34)/ 24}

                    = 26 

Hence, median = 26.

模式

正是最经常出现的变量值。更准确地说，模式是数据集中度最大的变量的值。

模态类别：在频率分布中，具有最大频率的类别称为模态类别。

Formula for Calculating Mode:  

M_o = x_k +h{(f_k – f_k-1)/(2f_k -f_k-1-f_k+1)} 

where,

x_k = lower limit of the modal class interval.

f_k = frequency of the modal class. 

f_k-1= frequency of the class preceding the modal class.

f_k+1 = frequency of the class succeeding the modal class.

h=width of the class interval.

示例1：计算以下频率分布的模式。

Class	50-70	70-90	90-110	110-130	130-150	150-170
Frequency	18	12	13	27	8	22

解决方案：

Class 40-50 has the maximum frequency, so it is called the modal class.

x_k= 40, h=10, f_k=28, f_k-1=12, f_k+1=20

Mode, M_o= x_k +h{(f_k – f_k-1)/(2f_k -f_k-1-f_k+1)}

= 40 +10{(28 – 12)/(2*28-12 – 20)}

= 46.67

Hence, mode= 46.67

Important Result-: Relationship among mean, median and mode.

Mode = 3(Median) – 2(Mean)

示例2：找到以下数据的均值，众数和中位数，

Class	Frequency fi	Mid Value xi	ui=(xi-A)/h =(xi-100)20	(fixui)
50-70	18	60	-2	-36
70-90	12	80	-1	-12
90-110	13	100=A	0	0
110-130	27	120	1	27
130-150	8	140	2	16
150-170	22	160	3	66
	∑fi=100			∑(fixui)=61

解决方案：

We have,

Class	Mid Value xi	Frequency fi	Cumulative Frequency	fi . xi
0-10	5	8	8	40
10-20	15	16	24	240
20-30	25	36	60	900
30-40	35	34	94	1190
40-50	45	6	100	270
		∑fi=100		∑fi. xi=2640

Mean = ∑(f_i.x_i)/∑f

            =2640/100

            = 26.4

Here, N =100 ⇒ N / 2 = 50. 

Cumulative frequency just greater than 50 is 60 and corresponding class is 20-30. 

Thus, the median class is 20-30. 

Hence, l = 20, h = 10, f = 36, c =  c. f. of preceding class = 24 and N/2=50

Median, M_e = l+ h{(N/2-cf)/f}

                    = 20+10{(50-24)/36}

Median = 27.2. 

Mode = 3(median) – 2(mean) = (3 × 27.2 – 2 × 26.4) = 28.8

卵

让一个分组的频率分布给我们。在方格纸上，我们在x轴上标记上限，在y轴上标记相应的累积频率。通过线段依次连接这些点时，我们得到一个多边形，称为累积频率多边形。通过平滑曲线依次连接这些点时，我们得到一条曲线，称为ogive。

逐步生成Ogive图的过程

1. 首先，我们在水平x轴上标记类别间隔的上限，并在y轴上标记其相应的累积频率。
2. 现在绘制由(上限，累积频率)给出的有序对的所有对应点。
3. 徒手将所有要点连接起来。
4. 我们得到的曲线称为ogive。

杂物的类型

1)少于原始

在方格纸上，我们在x轴上标记上限，在y轴上标记相应的累积频率。

(i)通过线段依次连接这些点时，我们得到一个多边形，称为累积频率多边形。

(ii)通过平滑曲线连续连接这些点时，我们得到一条曲线，称为小于曲线。

2)比Ogive还多

在方格纸上，我们在x轴上标记了下限类别，在y轴上标记了相应的累积频率。

(i)通过线段依次连接这些点时，我们得到一个多边形，称为累积频率多边形。

(ii)通过平滑曲线依次连接这些点时，我们会得到一条曲线，称为曲线。