关系和功能

可以将非常抽象的函数视为可以接受输入并产生输出的东西。这取决于函数将采用哪种输入以及将提供什么样的输出。但是，可以想象，它可以看作是为特定输入值提供输出的机器或盒子。

函数机

那么，人们在日常生活中应该在哪里寻找呢?

可以在任何地方看到它，例如，Weatherman从温度计读取读数。温度计通常以摄氏度或华氏度为单位进行读数。然后，气象员使用一些公式将其转换。该公式可以认为是上图中“函数机器”框中的内容。它以摄氏度为单位输入输入温度，并将其转换为华氏温度。现在，一次摄氏温度可以给我们提供两种不同的华氏温度输出吗?不。这就是为什么在函数机上设置一条规则，即在接受一个输入时不能给出两个输出。

让我们以形式和数学的方式来看它。

功能与关系

集合的笛卡尔积

假设A和B是两个非空集合，所有有序对(x，y)的集合(其中x∈A和y∈B称为集合的笛卡尔积)。

A×B = {x，y | x∈A和y∈B}

问题：找到集合A = {1,2,3}和B = {3,4,5}的笛卡尔积。

回答：

Following the above definition, let Cartesian product be X, 

X = A x B 

   = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5)}

Note: Let |A| and |B| be the number of elements in set A and set B respectively. Let the number of elements in Cartesian product of the two sets be |X|. Then, 

|X| = |A| x |B|

关系

从集合A到集合B的关系是笛卡尔乘积集合A x B的子集。该子集是通过描述A x B中元素的第一元素和第二元素之间的关系而构成的。

示例：R = {(1,2 ,,(2，-3)，(3,5)}

在上面的示例中，所有第一元素(即{1,2,5})的集合称为“域”，而所有第二元素(即{2，-3,5})的集合称为关系的范围。

关系类型

关系有8种主要类型，包括：

1. 空关系-集合的任何元素之间没有关系。
2. 通用关系-集合中的每个元素都相互关联。
3. 身份关系-在身份关系中，集合的每个元素仅与自身相关。
4. 逆关系-当一个集合具有与另一个集合的逆对成对的元素时，就会看到逆关系。
5. 自反关系-在自反关系中，每个元素都映射到自身。
6. 对称关系-在非对称关系中，如果a = b为true，则b = a也为true。
7. 传递关系-对于传递关系，如果(x，y)∈R，(y，z)∈R，则(x，z)∈R.
8. 等价关系-同时对称，传递和自反的关系。

函数

函数是一种特殊的关系。在这种关系中，每个域值仅映射到一个范围值。用ƒ：X⇒Y表示

这意味着它是从X到Y的函数。它从集合X中获取输入，并从集合Y中获得唯一值作为输出。 “ X”称为函数的域，而“ Y”称为共域。

所有功能都是关系，但所有关系都不是功能。

如引言中前面所述，可以将其视为运行在某些公式或规则上的块/机器。它接受输入并吐出输出。

问题： ƒ(x)= x ² 。是函数吗?

回答：

Here, the function takes a number as input. So its domain is all real numbers and in the output it gives the square of that number as output. So the co-domain will be all the positive numbers. 

Now, coming to the question whether this mathematical expression is function or not. 

According to the definition for each value of X, it should give a unique output but vice versa is not true. That is for different values of x it can give same value as output and will still be considered as function. 

For example: here, x = -2 and 2 both give the same output 4. 

Since the condition is not violated, it will be considered as a function. 

其他一些函数示例：

1. x ³ +1
2. sin(x)，cos(x)

函数类型：

• 恒等函数：由每个x∈R的y = f(x)= x定义的函数。
• 常数函数：由y = f(x)= C，x∈R定义的函数。
• 多项式函数： f(x)= a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +….. + a ₀
• 有理函数：这些是形式P(X)/ Q(X)的函数。

是什么使关系成为函数?

将元素仅映射到范围值的关系称为函数。要确定一个关系是否是一个函数，我们只需要确保没有元素具有两个对应的范围值即可。

问题1：下表中给出了一个关系，找出该关系是否是一个函数。

X	Y
2	1
3	6
2	3
5	8

回答：

In this table, when x = 2, we have two corresponding values of Y. This violates the one input-one output property function. So this is not a function. 

问题2：下表中给出了一个关系，找出该关系是否为函数。

X	Y
2	1
3	4
5	6
7	8

回答：

In the above relation, each input has only one corresponding range value. So, this relation is a function.  

功能图

所有功能都可以绘制在图形上，输入值在x轴上，输出值在y轴上。例如：

假设f(x)= x，其中x可以是任何实数。该函数的图形看起来类似于y = x的图形。

f(x)= x

我们如何从图中识别一个函数?

根据上面描述的条件，可以得出结论：在单个x值处不能有两个函数值。

因此，让我们来看一些函数和非函数的示例。

这是f(x)=√4x的图

在上图中，垂直虚线表示x的单个值和y的两个值。当给定x的单个值时，这意味着两个值。这违反了上述函数的属性之一。因此，这不是一个函数。

让我们再举一个例子

在上图中，没有提供两个不同输出的“ x”值。垂直虚线不能在两个位置切割图形。尽管水平虚线在两个位置切割了图形，但这表示两个输入映射到相同的输出。

方程与函数之间的差异

函数是一个表达式，一个公式。等式是两个表达式之间的等式。

因此8y +1是一个可以命名为f(y)的表达式。 F(y)= 8y +1是一个方程，恰好定义了一个函数。

x ² + y ² = 4是一个没有定义唯一函数的方程。它的图是一个圆，它不是一个函数。等式图表示满足相等性的所有那些点，而函数图表示在提供不同输入值时函数输出的值。

范例范例

问题1：找出函数范围：ƒ(x)= $\sqrt{16 - x^{2}}$

解决方案：

Since the value inside the root cannot be negative, x² should be less than 16. 

That means x ∈ [-4,4]. This is domain of the function. 

For the range, let y=$\sqrt{16 - x^{2}}$ then y² = 16 – x²

or x²= 16 – y²

Since x ∈ [– 4, 4]

Thus range of f = [0, 4]

问题2：绘制函数f(x)= | x |的图。

解决方案：

$f(x)= \begin{dcases} x,& \text{if } x\geq 0\\ -x, & \text{otherwise} \end{dcases}$

It can be noticed that in this, there are multiple inputs mapping to same value of the function. For example:- x = -2 and x = 2 both give f(x) = 2.