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📜  高阶导数

📅  最后修改于: 2021-06-24 16:02:48             🧑  作者: Mango

函数f(x)的导数告诉我们，当我们改变x时，函数的值将如何改变。这个量给我们提供了一个关于函数变化率的想法和方向。例如，正的衍生物表示在函数的值的增加而负值表明有可能在该函数的值的减小。在给定输入的情况下，导数对于我们预测极限，变化方向和系统行为非常重要。

导数和高阶导数

实函数的导数告诉我们该函数的变化率。导数是使用极限定义的，对于函数f(x)，其导数由f’(x)表示。以下是有关限制的定义，

f'(x) = \lim _{h \to 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h}

为了计算不同函数的导数，我们通常使用以下两个属性：

微分乘法规则

假设我们有一个复杂的函数f(x)，它是两个简单函数h(x)和g(x)的倍数。在这种情况下，我们将乘法公式用于导数。

\frac{d(g(x)h(x))}{dx} = g(x) \frac{d(h(x))}{dx} + h(x)\frac{g(f(x))}{dx}

区分规则

在另一种情况下，假设我们的复杂函数f(x)由两个不同函数的除法组成。例如，f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}

\frac{d}{dx}(\frac{g(x)}{h(x)}) = \frac{g(x)h'(x) - h(x)g'(x)}{h(x)^2}

二阶导数

就像导数告诉我们函数的变化率一样，高阶导数告诉我们前一个导数的变化率。例如，二阶导数告诉我们有关导数变化率的信息。

假设我们有一个函数f(x)。

y = f(x)

\frac{dy}{dx} = f'(x)

如果f’(x)是可微的，我们可以再次将其微分以获得二阶导数。表示为

\frac{d(f'(x))}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}

也可以写成f”(x)。

让我们看看二阶导数的一些问题。

样本问题

问题1：给定f(x)= x 3 。找出f”(x)的值。

解决方案：

问题2：给定f(x)= e x + sin(x)。找出f”(x)的值。

解决方案：

问题3：给定f(x)= e x .sin(x)。在x = 0处找到f”(x)的值。

解决方案：

问题4：给定f(x)= e x .sin(x)。在x = 0处找到f”(x)的值。

解决方案：

问题5：鉴于y = 3e 2x + 2e 3x ，证明\frac{d^2y}{dx^2} -5\frac{dy}{dx} + 6y =0

解决方案：

问题6：假设y = e x (x + 1)。在x = 1处找到二阶导数的值。

解决方案：

问题7：给定y = \frac{x}{x^2 + 1} 。在x = 1处找到二阶导数的值。

解决方案：