📜  可分离微分方程

📅  最后修改于: 2021-06-24 16:03:46             🧑  作者: Mango

可分离方程是其中dy / dx = f(x,y)被称为可分离的方程,只要代数运算(通常是乘法,除法和因式分解)允许以可分离形式dy / dx = F(x)G( y)的一些函数F和G.可分离方程和关联的溶液方法由G.莱布尼茨发现在 1691 并由 伯努利 1694年

可分微分方程是解决的方法之一 一阶一阶微分方程。在这种方法中,使用变量分离来找到微分方程的一般解。一阶方程,一阶微分方程可以这样写:

\frac{dy}{dx} = H(x, y)

我们可以将H(x,y)表示f(x)g(y )的乘积。因此,可分离微分方程的方程为-

\frac{dy}{dx} = f(x).g(y)

通过仅分离x和y并分别积分来解决微分代数的处理

识别可分离方程

为了使用可分离的微分方法求解微分方程,我们必须分离变量。更简而言之,一阶微分方程只有当且仅当可写为

\frac{dy}{dx} = f(x).g(y)

如果无法进行分解,则该方程不可分离。

如果可以进行分解,那么我们将其转化为这种形式以找到微分方程的一般解-

g(y)dy = f(x)dx

但是此方法不适用于所有方程式。

范例范例

例1:发现微分方程\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}变量是否可分离?

解决方案:

示例2:发现微分方程dy / dx = f(x).g(y)是变量可分离的吗?

解决方案:

示例3:发现微分方程dy / dx = f(x)+ g(y)是否可变量分离?

解决方案:

寻找可分离方程的特定解

因此,我们已经看到了如何识别可分离方程式”,因此我们可以轻松地对其进行求解,以找到微分方程式的一般解。

通过以下步骤:

  1. 尝试分解给定微分方程中的x和y。
  2. 将x放在相等的一侧,将y放在另一侧。
  3. 现在将x和y的两边分别进行积分。不要忘记“ + C”(积分常数)。

样本问题

示例1:找到微分方程dy / dx =(x + 1)/(2-y),(y≠2)的一般解。

解决方案:

示例2:找到微分方程dy / dx =(1 + y 2 )/(1 + x 2 )的一般解。

解决方案:

示例2:找到微分方程dy / dx = -4xy 2的一般解。

解决方案:

具有隐式解的可分离方程

据我们所知,如何识别和求解可分离的微分方程并找到它的一般解。现在我们将看到如何求解可分离的微分方程并找到隐式解。

一个隐式解决方案是当您有f(x,y)= g(x,y)时,这意味着y和x混合在一起。 y不仅仅用x表示。您可以在等号的两边都具有x和y,或者在一侧可以有y,而在另一侧可以具有x,y。将微分方程分为x和y部分。但是我们无法提出y = f(x)解决方案。这是因为这是一个隐式解决方案,也称为您无法编写的任何解决方案,例如y = f(x)。隐式是指因变量无法分开的情况。

查找隐式解与查找可分离微分方程的一般解几乎相同。

通过以下步骤-

  1. 尝试分解给定微分方程中的x和y。
  2. 将x放在相等的一侧,将y放在另一侧。
  3. 现在将x和y的两边分别进行积分。不要忘记“ + C”(积分常数)。
  4. 现在,我们将x和y的值放入有问题的一般解中,并找到C的值。
  5. 现在我们将C的值放在一般解中,并得到隐式解。

样本问题

示例1:求解以下微分方程dy / dx = 6xy 2 ,y(1)= 1/25。

解决方案:

示例2:求解以下微分方程dy / dx =(3x 2 + 4x-4)/(2y-4),y(1)= 3。

解决方案: