可分离微分方程

可分离方程是其中dy / dx = f(x，y)被称为可分离的方程，只要代数运算(通常是乘法，除法和因式分解)允许以可分离形式dy / dx = F(x)G( y)的一些函数F和G.可分离方程和关联的溶液方法由G.莱布尼茨发现在 1691 并由 伯努利 在1694年。

可分微分方程是解决的方法之一 一阶一阶微分方程。在这种方法中，使用变量分离来找到微分方程的一般解。一阶方程，一阶微分方程可以这样写：

$\frac{dy}{dx} = H(x, y)$

我们可以将H(x，y)表示为f(x)g(y )的乘积。因此，可分离微分方程的方程为-

$\frac{dy}{dx} = f(x).g(y)$

通过仅分离x和y并分别积分来解决微分代数的处理

识别可分离方程

为了使用可分离的微分方法求解微分方程，我们必须分离变量。更简而言之，一阶微分方程只有当且仅当可写为

$\frac{dy}{dx} = f(x).g(y)$

如果无法进行分解，则该方程不可分离。

where,

f(x) is a function of x that does not contain y.

g(y) is a function of y that does not contain x.

如果可以进行分解，那么我们将其转化为这种形式以找到微分方程的一般解-

g(y)dy = f(x)dx

Note: In order to solve this type of differential equation we have to separate all y’s on one side and x’s on other side of the equal sign.

但是此方法不适用于所有方程式。

范例范例

例1：发现微分方程$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)}$变量是否可分离?

解决方案：

As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

f(x)dx = g(y)dy

示例2：发现微分方程dy / dx = f(x).g(y)是变量可分离的吗?

解决方案：

As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/g(y) = f(x)dx

示例3：发现微分方程dy / dx = f(x)+ g(y)是否可变量分离?

解决方案：

As you can see the following differential equation cannot be expressed in the required form, so it cannot be solved using separation of variables.

dy/dx = f(x) + g(y)

寻找可分离方程的特定解

因此，我们已经看到了如何“识别可分离方程式”，因此我们可以轻松地对其进行求解，以找到微分方程式的一般解。

通过以下步骤：

1. 尝试分解给定微分方程中的x和y。
2. 将x放在相等的一侧，将y放在另一侧。
3. 现在将x和y的两边分别进行积分。不要忘记“ + C”(积分常数)。

样本问题

示例1：找到微分方程dy / dx =(x + 1)/(2-y)，(y≠2)的一般解。

解决方案：

Steps 1- As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/dx = (x+1)/(2-y)

Step 2- Bring the x’s on side of equal and y’s on other side.

(2-y) dy = (x+1) dx

Step 3- Integrate both the sides respectively to x and y, C is the constant of integration.

∫(2-y) dy = ∫(x+1) dx 

∫2 dy- ∫y dy = ∫x dx + ∫1 dx

2y − (y²/2) = (x²/2) + x + C

2y − (y²/2) − (x²/2) − x − C = 0

The general solution of the differential equation is-

2y − (y²/2) − (x²/2) − x − C = 0

示例2：找到微分方程dy / dx =(1 + y ² )/(1 + x ² )的一般解。

解决方案：

Since 1 + y² ≠ 0, therefore separating the variables, in the given differential.

Step 1- As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/dx = (1+y²)/(1+x²)

Step 2- Bring the x’s on side of equal and y’s on other side.

dy/(1+y²) = dx/(1+x²)

Step 3- Integrate both the sides respectively to x and y, C is the constant of integration.

∫dy/(1+y²) = ∫dx/(1+x²)

Tan^-1y = Tan^-1x + C

Tan^-1x – Tan^-1y + C = 0

The general solution of the differential equation is-

Tan^-1x – Tan^-1y + C = 0

示例2：找到微分方程dy / dx = -4xy ²的一般解。

解决方案：

Since y² ≠ 0, therefore separating the variables, in the given differential.

Step 1- As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/dx=-4xy²

Step 2- Bring the x’s on side of equal and y’s on other side.

dy/y²=-4x dx

Step 3- Integrate both the sides respectively to x and y, C is the constant of integration.

∫dy/y²=∫-4x dx

-(1/y)=-4(x²/2)+C

-(1/y)=-2x+C

-2x+(1/y)+C=0

The general solution of the differential equation is-

-2x+(1/y)+C=0

具有隐式解的可分离方程

据我们所知，如何识别和求解可分离的微分方程并找到它的一般解。现在我们将看到如何求解可分离的微分方程并找到隐式解。

一个隐式解决方案是当您有f(x，y)= g(x，y)时，这意味着y和x混合在一起。 y不仅仅用x表示。您可以在等号的两边都具有x和y，或者在一侧可以有y，而在另一侧可以具有x，y。将微分方程分为x和y部分。但是我们无法提出y = f(x)解决方案。这是因为这是一个隐式解决方案，也称为您无法编写的任何解决方案，例如y = f(x)。隐式是指因变量无法分开的情况。

查找隐式解与查找可分离微分方程的一般解几乎相同。

通过以下步骤-

1. 尝试分解给定微分方程中的x和y。
2. 将x放在相等的一侧，将y放在另一侧。
3. 现在将x和y的两边分别进行积分。不要忘记“ + C”(积分常数)。
4. 现在，我们将x和y的值放入有问题的一般解中，并找到C的值。
5. 现在我们将C的值放在一般解中，并得到隐式解。

样本问题

示例1：求解以下微分方程dy / dx = 6xy ² ，y(1)= 1/25。

解决方案：

Step 1- As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/dx=6xy²

Step 2- Bring the x’s on side of equal and y’s on other side.

dy/y² = 6x dx

Step 3- Integrate both the sides respectively to x and y, C is the constant of integration.

∫dy/y² = ∫6x dx

∫dy/y² = 6∫x dx

-(1/y) = 6(x²/2)+C

-(1/y) = 3x²+C

The general solution of the differential equation is-

-(1/y) = 3x²+C

Step 4- Put the values of x and y in the general solution given in question and find the value of C.

-25 = 3+C

C = -28

The implicit solution is-

-(1/y) = 3x²-28

示例2：求解以下微分方程dy / dx =(3x ² + 4x-4)/(2y-4)，y(1)= 3。

解决方案：

Step 1- As you can see the following differential equation can be expressed in the required form, so it can be solved using separation of variables.

dy/dx = (3x²+4x-4)/(2y-4)

Step 2- Bring the x’s on side of equal and y’s on other side.

(2y-4)dy = (3x²+4x-4)dx

Step 3- Integrate both the sides respectively to x and y, C is the constant of integration.

∫(2y-4)dy = ∫(3x²+4x-4)dx

∫2y dy-∫4 dy = ∫3x² dx+∫4x dx-∫4 dx

y²-4y = x³+2x²-4x+C

The general solution of the differential equation is-

y²-4y =x³+2x²-4x+C

Step 4- Put the values of x and y in the general solution given i n question and find the value of C.

3²-4*3 = 1³+2*1²-4*1+C

C = -2

The implicit solution is-

y²-4y = x³+2x²-4x-2