可变力所做的功

通常，跳舞的人被认为比坐着的人更有活力。一个整天站在他的地方的保安已经工作了几个小时。在现实生活中，这似乎是显而易见的，但这些术语和定义在物理方面的作用不同。在物理学中，功被定义为力和位移的乘积。这意味着，如果没有位移，无论花费多少力或时间，所做的功都是零。该定义建立了诸如功能定理之类的概念。让我们详细看看这个。

工作

考虑一个质量为 M 的块坐在一个表面上。现在，阿曼来了，开始在积木上施加一个力 F。只用了一段时间的力，他就能在地面上将块移动4米。块和力如下图所示。现在，因为有位移。根据物理学术语，工作已经完成。

For a constant force$\vec{F}$ and the displacement $\vec{r}$. The work done is defined by, 

$W = \vec{F}.\vec{r}$

这是两个向量之间的点积，所以如果力形成一个角度$\theta$与位移。然后完成的工作将由，

W = |F||r|cos( $\theta$ )

可变力所做的功

上述等式是在假设施加到身体的力是恒定的情况下计算所做的功的情况。通常情况并非如此。力的方向和大小随时间变化，有时也随距离变化。因此，用这个假设计算所做的工作是不正确的，也不是完全可推广的。

让我们考虑一个改变其大小的力。考虑弹簧和胡克定律的情况。根据胡克定律，完全弹性弹簧的恢复力与其伸长成正比。这个力的方向与延伸相反。那里的作用力由下式给出，

F = -kx

这里，k 是弹簧常数。

这是变量 Force 的示例。为了计算变力所做的功，我们应该将在所有无穷小的区间内所做的所有无穷小的功相加。让我们用“dt”来表示无限小的区间。因此，为了增加在这种情况下所做的工作，必须使用积分。

区间“dt”可用于计算弹簧伸长的变化。

dx = vdt

$W = \sum_i F_i\Delta x \\ = \sum_i F_idx \\ = \sum_i F_ivdt$

利用胡克定律中的力关系。

$W = \sum_i -kx vdt \\ = \int^{t}_{0} -kxvdt \\ = \int^{x}_{x_0}-kxdx \\ = -\frac{1}{2}k \Delta^2 x$

这项工作是通过施加在弹簧上的力来完成的$\Delta x$

For a force which is varying and is given by $\vec{F}$and produces a displacement given by the vector $\vec{dr}$. The work done is given by, 

$W = \int \vec{F}.\vec{dr}$

力-位移图

使用力-位移图可以更清楚地理解上述概念。下图显示了一个可变力及其产生的位移。众所周知，积分表示曲线下的面积。因此，在这种情况下，曲线下的面积给出了身体上的力所做的功。曲线下的区域被分成许多矩形，它们代表$\Delta x$移位。

单个矩形的面积是$F.\Delta x$ .这代表了力对无限小的位移所做的功。所有矩形的面积总和就是完成的总功。

W = $\sum F.\Delta x \\$

⇒ W = ∫Fdx

示例问题

问题 1：求在位移方向上作用 20N 的力产生 5m 位移时所做的功。

解决方案：

The work done by a constant force is given by, 

W = |F||r|cos($\theta$)

Here, $\theta = 0$

W = |F||r|cos($\theta$)

⇒ W = (20)(5)(cos(0)) 

⇒ W= 100

问题 2：求 F = 30i + 5j 的力产生位移 r = 5i + 2j 时所做的功。

解决方案：

The work done by a constant force is given by, 

W = $\vec{F}.\vec{r}$

$\vec{F} = 30i + 5j$ and $\vec{r} = 5i + 2j$

Calculating the dot product. 

W = $\vec{F}.\vec{r}$

⇒ W = (30i + 5j). (5i + 2j) 

⇒ W= (30)(5) + (5)(2) 

⇒W = 150 + 10 

⇒W = 160 J

问题 3：求 F = x 的力产生 4m 的位移时所做的功。

解决方案：

The work done by a variable force is given by, 

W = ∫Fdx

F(x) = x

Calculating the work done.

W = $\int^{x}_{0}Fdx \\ = \int^{x}_{0}xdx \\ = [\frac{x^2}{2}]^{x}_{0} \\ = \frac{x^2}{2}$

Here, the displacement is x = 4 

W = $\frac{x^2}{2}$

⇒ W = $\frac{4^2}{2}$

⇒ W = 8J

问题 4：求 F = x ²的力产生 3 m 的位移时所做的功。

解决方案：

The work done by a variable force is given by, 

W = ∫Fdx

F(x) = x²

Calculating the work done. 

W = $\int^{x}_{0}Fdx \\ = \int^{x}_{0}x^2dx \\ = [\frac{x^3}{3}]^{x}_{0} \\ = \frac{x^3}{3}$

Here, the displacement is x = 3 

W = $\frac{x^3}{3}$

⇒ W = $\frac{3^2}{2}$

⇒ W = 4.5 J

问题 5：求 F = x + 4 的力产生 2 m 的位移时所做的功。

解决方案：

The work done by a variable force is given by, 

W = ∫Fdx

F(x) = x + 4

Calculating the work done. 

W = $\int^{x}_{0}Fdx \\ = \int^{x}_{0}(x + 4)dx \\ = [\frac{x^2}{2} + 4x]^{x}_{0} \\ = \frac{x^2}{2} + 4x$

Here, the displacement is x = 2

W = $\frac{x^2}{2} + 4x$

⇒ W = $\frac{2^2}{2} + 4(2)$

⇒ W = 10 J

问题 6：求 F = sin(x) 的力产生从 -1 到 1 的位移时所做的功。

解决方案：

The work done by a variable force is given by, 

W = ∫Fdx

F(x) = sin(x)

Calculating the work done. 

W = $\int^{1}_{-1}Fdx \\ = \int^{1}_{-1}sin(x)dx \\ = [-cos(x)]^{1}_{-1} \\ = cos(-1) - cos(1) \\ = 0$