群论中的商群

先决条件：群、陪集的知识。

介绍 ：
我们可以说“o”是对集合 G 的二元运算，如果： G 是一个非空集合 & G * G = { (a,b) : a , b∈ G } 和 o : G * G –> G . 这里，aob 表示函数/操作o 下有序对(a,b) 的图像。
示例 – “+” 被称为对 G(任何非空集)的二元运算，如果 & 仅当： a+b ∈G ； ∀ a,b ∈G 和 a+b 每次相加都给出相同的结果。

代数结构：
配备 1 个/多个二元运算的非空集 G 称为代数结构。
示例 – a. (N,+) 和 b。 (R, + , .)，其中 N 是一组自然数，R 是一组实数。这里 ‘ 。 ‘(点)指定乘法运算。

团体 ：
如果二元运算“o”满足以下属性，则代数结构 (G , o) 其中 G 是非空集 & ‘o’ 是定义在 G 上的二元运算，则称为组 –

闭包——a ∈ G ,b ∈ G => aob ∈ G ； ∀ a,b ∈ G

1. 结合性 – (aob)oc = ao(boc) ; ∀ a,b,c ∈ G。
2. 单位元素——在 G 中存在 e 使得 aoe = eoa = a ； ∀ a ∈ G(示例 – 对于加法，恒等式为 0)。
3. 逆的存在性 –对于每个元素 a ∈ G ；存在逆(a-1)∈ G 使得： aoa-1 = a-1oa = e。

阿贝尔集团：
代数结构 (G , o) 其中 G 是非空集 & ‘o’ 是定义在 G 上的二元运算，如果它是一个群(即，它满足 G1、G2、G3 和 G4)，则称为阿贝尔群并且另外满足

Commutative - aob = boa ∀ a,b ∈ G

正常子群：
设 G 是一个凯布力群，并且 G 中的组合由多重性表示。
设 H 是 G 的任意子群。如果 x 是 G 的任意元素，则 Hx 是 G 中 H 的右陪集 & xH 是 G 中 H 的左陪集，如果 –

Hx = xH ; ∀x ∈ G or
xhx-1 ∈ H ; ∀x ∈ G & h ∈ H

商组：
设 G 为任意群 & 设 N 为 G 的任意正常子群。如果 ‘a’ 是 G 的一个元素，则 aN 是 G 中 N 的左陪集。由于 N 在 G 中是正常的，因此 aN = Na(左陪集 =正确的陪集)。
我们可以说 Na 是 N 在 G 中的陪集。
G/N 表示 G 中 N 的所有陪集的集合。

Quotient/Factor Group = G/N = {Na ; a ∈ G } = {aN ; a ∈ G} (As aN = Na)

如果 G 是一个群 & N 是 G 的正规子群，那么 G 中 N 的所有陪集的集合 G/N 是关于 G/N 中陪集相乘的一个群。它被 N 称为 G 的商/因子群。
有时它被称为“G 模 N 的残差类”。
如果组中的组成是加法，’+’，则 G/H 定义为：

Quotient/Factor Group = G/N = {N+a ; a ∈ G } = {a+N ; a ∈ G} (As a+N = N+a)

注 — G/N 的标识元素是 N。
示例 1 –考虑具有加模 6 的群 G，其中 G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}。令 N = {0, 3),
那么商/因子组是：
G/N = { aN ; a ∈ G } = { a{0,3} ; a ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
= {0{0,3}, 1{0,3}, 2{0,3}, 3{0,3}, 4{0,3}, 5{0,3} }
= { {(0+0) mod6 , (0+3) mod6 }, { (1+0) mod6 , (1+3) mod6 } , { (2+0) mod6 , (2+3) mod6 } , { (3+0) mod6 , (3+3) mod6 }, { (4+0) mod6 , (4+3) mod6 }, { (5+0) mod6 , (5+3) mod6 } }
= {{0,3}, {1,4}, {2,5}, {3,0}, {4,1}, {5,2} }
= {{0,3}, {1,4}, {2,5}}

示例 2 –让 G = {1, -1, i, -i } 和 H = {1, -1}； H 是 G 在二元运算 ‘,’ 中的正规子群。商群是什么? G/H?
G/N = { aN ; a ∈ G } = {a{1,-1} ; a ∈ {1,-1,i,-i}
= {1.{1,-1}, -1.{1,-1}, i{1,-1}, -i.{1,-1}}
={{1.1,1.-1}, {-1.1,-1.-1}, {i.1, i.-1}, {-i.1, -i.-1}}
={{1,-1}, {-1,1}, {i,-i}, {-i,i}}
={ {1,-1}, {i,-i}}
换句话说，我们可以说，如果 G 是一个群 & N 是 G 的一个正规子群，那么 G 中 N 的所有陪集的 G/N 以及由 定义的二元组合：

NaNb = Nab ; where Na ∈ G/N, Nb ∈ G/N is a group.

G/N 被称为 G 乘 N 的商群。

商/因子组的属性：

1. 如果 N 是有限群 G 的正规子群，则 –
   O(G/N) = O(G)/O(N)，其中：O(G/N) => G 中 N 的不同右/左陪集的数量。
2. 如果 N 是有限群 G 的正规子群，使得 N 在 G 中的索引是素数，则因子群 G/N 是循环的。
3. 阿贝尔群的因子群是阿贝尔群，反之则不成立。
4. 循环群的每个因子群都是循环的，反之则不然。