寻找从 (0, 0) 到 (N-1, M-1) 的最小差分路径

在图像/数组处理中，我们需要找到两个点之间的最短路径。在这里，我们介绍一种方法来找到从 (0, 0) 到 (N-1, M-1) 的最小差分路径。

首先，我们需要把图像/数组看作是一个有向无环图（DAG），其中节点表示像素（元素），边表示相邻像素之间的连接。因为所有边的权重都是正的，我们可以使用 Dijkstra 算法来找到从起点到终点的最短路径。但是，我们需要一些特殊的技巧来实现它。

算法

我们需要做以下几个步骤：

1. 根据差分图片创建有向加权图，每个像素对应一个节点，每个相邻像素之间有一条从左到右或从上到下的有向边，它们的权重是它们的差分值。

2. 将所有边的权重从正值转换为非负值。我们可以把所有边的权重加上一个大于等于0的常数，使它们变成非负值。

3. 使用 Dijkstra 算法，找到从起点到终点的最短路径。

4. 从终点向起点反向遍历最短路径，并记录下路径上的所有节点。

代码

以下是使用 Python 实现上述算法的代码：

import numpy as np
import heapq

def find_min_path(image):
    # Create a directed weighted graph
    h, w = image.shape
    graph = [[] for _ in range(h*w)]
    
    for i in range(h):
        for j in range(w):
            node = i*w + j
            if j < w-1:
                edge = node+1
                weight = abs(image[i][j] - image[i][j+1])
                graph[node].append((edge, weight))
            if i < h-1:
                edge = node+w
                weight = abs(image[i][j] - image[i+1][j])
                graph[node].append((edge, weight))
    
    # Convert all edge weights to non-negative values
    min_weight = np.min([weight for edges in graph for (_, weight) in edges])
    for i in range(h*w):
        graph[i] = [ (edge, weight-min_weight) for (edge, weight) in graph[i] ]

    # Find the shortest path from source to target using Dijkstra's algorithm
    source, target = 0, h*w-1
    queue = [(0, source, [source])]
    visited = set()

    while queue:
        (cost, node, path) = heapq.heappop(queue)
        if node in visited:
            continue
        visited.add(node)

        if node == target:
            return [ (i//w, i%w) for i in path ]

        for next_node, weight in graph[node]:
            heapq.heappush(queue, (cost+weight, next_node, path+[next_node]))

    return None

该算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 为像素的数量。