有限差分计算器 - JavaScript

简介

有限差分法（Finite Difference Method）是数值计算中一种用于求解偏微分方程的方法，该方法将连续的问题离散化，把连续区域划分成若干个有限的小区域，在其中选取网格点，通过这些点上函数值的逼近，建立数值解法，从而求得原方程的近似数值解。

本计算器基于 JavaScript 编写，可用于求解一维、二维常微分方程或偏微分方程的数值解。

功能

目前，该有限差分计算器提供以下功能：

• 一维常微分方程求解：支持常微分方程的初值问题求解，可选择欧拉法或改进欧拉法进行求解。

• 二维常微分方程求解：支持常微分方程的初值问题求解，可选择欧拉法或改进欧拉法进行求解。

• 二维偏微分方程求解：支持二维偏微分方程的数值解求解，可选择五点、九点或十三点差分格式进行求解。

代码示例

使用该有限差分计算器，以下是一维常微分方程求解的代码示例：

// 定义常微分方程
function f(x, y) {
    return x + y;
}

// 控制变量
let x0 = 0, y0 = 1, h = 0.1, n = 10;

// 定义欧拉法求解函数
function euler(f, x0, y0, h, n) {
    let x = [x0], y = [y0];
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        x[i] = x[i - 1] + h;
        y[i] = y[i - 1] + h * f(x[i - 1], y[i - 1]);
    }
    return {x, y};
}

// 求解
let {x, y} = euler(f, x0, y0, h, n);

// 输出结果
console.log(`x: ${x}`);
console.log(`y: ${y}`);

使用改进欧拉法求解，只需将求解函数改为以下代码：

// 定义改进欧拉法求解函数
function improvedEuler(f, x0, y0, h, n) {
    let x = [x0], y = [y0];
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        x[i] = x[i - 1] + h;
        let k1 = h * f(x[i - 1], y[i - 1]);
        let k2 = h * f(x[i - 1] + h, y[i - 1] + k1);
        y[i] = y[i - 1] + (k1 + k2) / 2;
    }
    return {x, y};
}

// 求解
let {x, y} = improvedEuler(f, x0, y0, h, n);

// 输出结果
console.log(`x: ${x}`);
console.log(`y: ${y}`);

以上代码示例将输出 1 给定初始条件，步长为 0.1，共求解 10 步的一维常微分方程数值解。

其他

此有限差分计算器仍可以扩展其他功能，有兴趣者可以在此基础上进行扩展，以求解更多偏微分方程的数值解。