数字逻辑中的 5 变量 K-Map

先决条件 – K-Map 中的蕴涵
Karnaugh Map或 K-Map 是另一种写真值表的方法，用于简化布尔表达式。到目前为止，我们熟悉 3 变量 K-Map 和 4 变量 K-Map。现在，让我们详细讨论 5 变量 K-Map。

任何包含 5 个变量的布尔表达式或函数都可以使用 5 个变量 K-Map 求解。这样一个 5 个变量的 K-Map 必须包含$$2^{5}$$ = 32 个细胞。让 5 变量布尔函数表示为：
f ( PQRST)其中 P、Q、R、S、T 是变量，P 是最高有效位变量，T 是最低有效位变量。

用于 SOP 表达式的这种 K-Map 的结构如下：

细胞号对应每个单元格的写法可以从这里描述的例子中理解：

这里对于变量P=0，我们有 Q = 0, R = 1, S = 1, T = 1 即 (PQRST)=(00111) 。在十进制形式中，这相当于7 。因此，对于上面显示的单元格，相应的单元格编号。 = 7. 同理，我们可以写出每个单元格对应的单元格编号，如上图所示。
现在让我们讨论如何使用 5 变量 K-Map 来最小化布尔函数。

应遵守的规则：

1. 如果一个函数以紧凑的规范 SOP(Sum of Products) 形式给出，那么我们在相应的单元格编号中写下对应于每个 minterm(在问题中提供)的“1” 。例如：
   为了$\sum\ m(0, 1, 5, 7, 30, 31)$我们将写对应于单元格编号(0、1、5、7、30 和 31)的“1”。
2. 如果一个函数以紧凑的规范 POS(总和的乘积)形式给出，那么我们在相应的单元格编号中写下对应于每个 maxterm(在问题中提供)的“0” 。例如：
   为了$\prod\ M(0, 1, 5, 7, 30, 31)$我们将写对应于单元格编号(0、1、5、7、30 和 31)的“0”。

要遵循的步骤：

1. 制作最大可能大小的子立方体，在 SOP 的情况下覆盖所有标记的 1，或者在 K-Map 中的 POS 的情况下覆盖所有标记的 0。需要注意的是，每个子立方体只能包含 2 的幂的项。也是一个子立方体$$2^{m}$$当且仅当在每个单元格的子立方体中我们满足“m”个单元格是相邻单元格时，单元格是可能的。
2. 所有基本质蕴涵项 (EPI) 都必须出现在最小表达式中。

一、求解SOP函数——
为了清楚地理解，让我们使用以下表达式解决 5 个变量 K-Map 的 SOP函数最小化示例：
$\sum\ m(0, 2, 4, 7, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 28)$

在上面的 K-Map 中，我们有 4 个子立方体：

• Subcube 1：用红色标记的那个由单元格( 0、4、8、12、16、20、24、28 )组成
• Subcube 2：用蓝色标记的那个由单元格 (7, 23) 组成
• Subcube 3：粉红色标记的那个由单元格( 0、2、8、10、16、18、24、26 )组成
• Subcube 4：用黄色标记的那个由单元格 (24, 25, 26, 27) 组成

现在，在编写每个子多维数据集的最小表达式时，我们将搜索该子多维数据集中存在的所有单元格共有的字面量。

• 子立方体 1 ： $\bar S$$\bar T$
• 子立方体 2 ： $\bar Q$$R$$S$$T$
• 子立方体 3 ： $\bar R$$\bar T$
• 子立方体 4 ： $P$$Q$$\bar R$

最后，给定布尔函数的最小表达式可以表示如下：
$f(P Q R S T) = \bar S$$\bar T$$+ \bar Q$$R$$S$$T$$+ \bar R$$\bar T$$+ P$$Q$$\bar R$

二、解决POS函数——
现在，让我们使用以下表达式解决 5 个变量 K-Map 的 POS函数最小化示例：
$\prod\ M(0, 2, 4, 7, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 23, 24, 25, 26, 27, 28)$

在上面的 K-Map 中，我们有 4 个子立方体：

• Subcube 1：用红色标记的那个由单元格( 0、4、8、12、16、20、24、28 )组成
• Subcube 2：用蓝色标记的那个由单元格 (7, 23) 组成
• Subcube 3：粉红色标记的那个由单元格( 0、2、8、10、16、18、24、26 )组成
• Subcube 4：用黄色标记的那个由单元格 (24, 25, 26, 27) 组成

现在，在编写每个子多维数据集的最小表达式时，我们将搜索该子多维数据集中存在的所有单元格共有的字面量。

• 子立方体 1 ： $S + T$
• 子立方体 2 ： $Q + \bar R$$+ \bar S$$+ \bar T$
• 子立方体 3 ： $R + T$
• 子立方体 4 ： $\bar P + \bar Q$$+ R$

最后，给定布尔函数的最小表达式可以表示如下：
$f(P Q R S T) = (S + T)(Q + \bar R + \bar S + \bar T)( R + T)(\bar P + \bar Q + R)$

注意：

1. 对于 5 个变量的 K-Map，单元格编号的范围将从 0 到$$2^{5}$$ -1 即 0 到 31。
2. 上述术语“相邻单元格”是指“仅在 1 个变量上不同的任何两个单元格”。