最近的一对点 | O(nlogn) 实现

给定平面中包含 n 个点的数组，问题是找出数组中最近的点对。这个问题出现在许多应用程序中。例如，在空中交通管制中，您可能希望监视靠得太近的飞机，因为这可能表明可能发生碰撞。回想以下关于两点 p 和 q 之间距离的公式。
$\left \| pq\right \| = \sqrt{(p_x - q_x)^2 + (p_y - q_y)^2}$
我们已经讨论了这个问题的分而治之的解决方案。上一篇文章中提供的实现的时间复杂度是 O(n (Logn)^2)。在这篇文章中，我们讨论时间复杂度为 O(nLogn) 的实现。

以下是对上一篇文章中讨论的算法的回顾。

1)我们根据x坐标对所有点进行排序。

2) 将所有点分成两半。

3)递归地找出两个子数组中的最小距离。

4)取两个最小距离中的最小值。让最小值为 d。

5)创建一个数组strip[]，用于存储距离划分两个集合的中线最多d距离的所有点。

6)在strip[]中找到最小的距离。

7)返回 d 的最小值和上面步骤 6 中计算的最小距离。

上述方法的好处在于，如果数组 strip[] 根据 y 坐标排序，那么我们可以在 O(n) 时间内找到 strip[] 中的最小距离。在上一篇文章中讨论的实现中，假设排序步骤花费 O(nLogn) 时间，strip[] 在使时间复杂度为 O(n (Logn)^2) 的每个递归调用中显式排序。
在这篇文章中，我们讨论了一个时间复杂度为 O(nLogn) 的实现。这个想法是根据 y 坐标对所有点进行预排序。令排序后的数组为 Py[]。当我们进行递归调用时，我们还需要根据垂直线划分 Py[] 的点。我们可以通过简单地处理每个点并将其 x 坐标与中线的 x 坐标进行比较来做到这一点。

以下是 O(nLogn) 方法的 C++ 实现。

// A divide and conquer program in C++ to find the smallest distance from a
// given set of points.
  
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
  
// A structure to represent a Point in 2D plane
struct Point
{
    int x, y;
};
  
  
/* Following two functions are needed for library function qsort().
   Refer: http://www.cplusplus.com/reference/clibrary/cstdlib/qsort/ */
  
// Needed to sort array of points according to X coordinate
int compareX(const void* a, const void* b)
{
    Point *p1 = (Point *)a,  *p2 = (Point *)b;
    return (p1->x - p2->x);
}
// Needed to sort array of points according to Y coordinate
int compareY(const void* a, const void* b)
{
    Point *p1 = (Point *)a,   *p2 = (Point *)b;
    return (p1->y - p2->y);
}
  
// A utility function to find the distance between two points
float dist(Point p1, Point p2)
{
    return sqrt( (p1.x - p2.x)*(p1.x - p2.x) +
                 (p1.y - p2.y)*(p1.y - p2.y)
               );
}
  
// A Brute Force method to return the smallest distance between two points
// in P[] of size n
float bruteForce(Point P[], int n)
{
    float min = FLT_MAX;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = i+1; j < n; ++j)
            if (dist(P[i], P[j]) < min)
                min = dist(P[i], P[j]);
    return min;
}
  
// A utility function to find a minimum of two float values
float min(float x, float y)
{
    return (x < y)? x : y;
}
  
  
// A utility function to find the distance between the closest points of
// strip of a given size. All points in strip[] are sorted according to
// y coordinate. They all have an upper bound on minimum distance as d.
// Note that this method seems to be a O(n^2) method, but it's a O(n)
// method as the inner loop runs at most 6 times
float stripClosest(Point strip[], int size, float d)
{
    float min = d;  // Initialize the minimum distance as d
  
    // Pick all points one by one and try the next points till the difference
    // between y coordinates is smaller than d.
    // This is a proven fact that this loop runs at most 6 times
    for (int i = 0; i < size; ++i)
        for (int j = i+1; j < size && (strip[j].y - strip[i].y) < min; ++j)
            if (dist(strip[i],strip[j]) < min)
                min = dist(strip[i], strip[j]);
  
    return min;
}
  
// A recursive function to find the smallest distance. The array Px contains
// all points sorted according to x coordinates and Py contains all points
// sorted according to y coordinates
float closestUtil(Point Px[], Point Py[], int n)
{
    // If there are 2 or 3 points, then use brute force
    if (n <= 3)
        return bruteForce(Px, n);
  
    // Find the middle point
    int mid = n/2;
    Point midPoint = Px[mid];
  
  
    // Divide points in y sorted array around the vertical line.
    // Assumption: All x coordinates are distinct.
    Point Pyl[mid];   // y sorted points on left of vertical line
    Point Pyr[n-mid];  // y sorted points on right of vertical line
    int li = 0, ri = 0;  // indexes of left and right subarrays
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
      if (Py[i].x <= midPoint.x && li

输出：

The smallest distance is 1.41421

时间复杂度：令上述算法的时间复杂度为T(n)。让我们假设我们使用 O(nLogn) 排序算法。上述算法将所有点分成两组，递归调用两组。划分后，它在 O(n) 时间内找到条带。此外，围绕中间垂直线划分 Py 数组需要 O(n) 时间。最后在 O(n) 时间内找到 strip 中最近的点。所以T(n)可以表示如下
T(n) = 2T(n/2) + O(n) + O(n) + O(n)
T(n) = 2T(n/2) + O(n)
T(n) = T(nLogn)

参考：
http://www.cs.umd.edu/class/fall2013/cmsc451/Lects/lect10.pdf
http://www.youtube.com/watch?v=vS4Zn1a9KUc
http://www.youtube.com/watch?v=T3T7T8Ym20M
http://en.wikipedia.org/wiki/Closest_pair_of_points_problem

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