最接近的点对| O(nlogn)

最接近的点对问题是计算平面上最接近的两个点之间的距离。O(n^2)的算法需要两重循环枚举点对，但是通过分治法和归并排序，可以将其优化至O(nlogn)。

算法思路

1. 将点按x坐标排序，然后将点集分成两半（left和right）。
2. 分别在left和right中递归解决最接近点对的问题。
3. 在left和right之间找到最短的距离d。
4. 在left和right中，找到距中线比d近的所有点，并按y坐标排序。
5. 在这些点中，寻找最接近的点对，它们的距离不超过d。
6. 返回最接近点对的距离。

实现代码

import sys
import math

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

def distance(a, b):
    return math.sqrt((a.x - b.x) ** 2 + (a.y - b.y) ** 2)

def closest_pair(points):
    points.sort(key=lambda point: point.x)
    return _closest_pair(points)

def _closest_pair(points):
    n = len(points)
    if n <= 1:
        return sys.float_info.max

    mid = n // 2
    left = points[:mid]
    right = points[mid:]

    d = min(_closest_pair(left), _closest_pair(right))

    split_points = []
    for point in points:
        if abs(point.x - points[mid].x) < d:
            split_points.append(point)

    split_points.sort(key=lambda point: point.y)

    min_dist = d
    for i in range(len(split_points)):
        for j in range(i + 1, len(split_points)):
            if split_points[j].y - split_points[i].y >= d:
                break
            dist = distance(split_points[i], split_points[j])
            if dist < min_dist:
                min_dist = dist

    return min_dist

时间复杂性分析

这个算法利用了分治法和归并排序算法，时间复杂度为O(nlogn)。