双曲函数

双曲余弦函数定义为：

cosh(x) = (ex + e-x)/2

双曲正弦函数定义为：

sinh(x) = (ex - e-x)/2

从上面的定义我们可以看到 cosh(x) 和 sinh(x) 函数的以下属性：
cosh(x) 是一个偶函数：

cosh(-x) = (e-x + ex)/2
         = (ex + e-x)/2
         = cosh(x)

因此函数是偶函数。
类似地， sinh(x) 是一个奇函数：

sinh(-x) = (e-x - ex)/2
         = -((ex - e-x)/2)
         = -sinh(x)

因此 sinh(x)函数是一个奇函数。
cosh(x) 的范围：

cosh(x) = (e-x + ex)/2

Let y = ex
So, 
cosh(x) = (y + 1/y)/2 . Now (y + 1/y) ≥ 2 for y>0.
Hence cosh(x) ≥ 1  

因此，cosh(x) 的范围是 [1, ∞)。

sinh(x) 的范围：

sinh(x) = (ex - e-x)/2
Let sinh(x) = y.
So y = (e2x - 1)/2ex
   2yex = e2x - 1
   e2x - 2yex + 1 = 0
   x = ln(y + √(y2 + 1)) 

很明显，因为 x 在 (-∞, ∞) 中，所以 y 必须在 (-∞, ∞) 中，因此上面的日志给出了所有实数。

双曲正弦和余弦与正常三角正弦和余弦之间的类比。

奥斯本法则：
该规则指出，正弦和余弦的正常三角恒等式即使使用双曲正弦和余弦也保持不变，即 cos(x) 可以替换为 cosh(x)，而 sin(x) 可以替换为 sinh(x)。但要记住，当两个正弦函数相乘时，恒等式会发生符号变化。

例如，

sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

它在双曲函数中保持不变，即，

sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)

But,
cos(2A) = 1 - 2sin2(x)

变成，

cosh(2x) = 1 + 2sinh2(x)

几何学也有类比。而 (cos(t), sin(t)) 表示单位圆上的点，(cosh(x), sinh(x)) 表示 x 截距 = 1 的双曲线上的点。

身份：

cosh2(x) - sinh2(x) = 1

Proof: 
= L.H.S 
=  ((ex + e-x)/2)2 - ((ex - e-x)/2)2
= ((e2x + e-2x + 2)/4) - ((e2x + e-2x - 2)/4) 
= 4/4
= 1

其他双曲函数：

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)
coth(x) = cosh(x)/sinh(x)
cosech(x) = 1/sinh(x)
sech(x) = 1/cosh(x)

双曲函数的导数：

= d(cosh(x))/dx 
= d((ex + e-x)/2)/dx
= 1/2(d(ex + e-x)/dx)
= 1/2(ex - e-x)
= sinh(x)

相似地，

d(sinh(x))/dx = cosh(x)

您可以看到 sin(x) 和 cos(x) 以及 sinh(x) 和 cosh(x) 的导数之间的差异。因此，您只需将双曲函数替换为已定义的函数即可对双曲函数执行任何操作。