证明循环群的每个子群都是循环的

证明 ：
循环群的每个子群都是循环的。

循环组：
它是由单个元素生成的群，该元素称为该循环群的生成器，或者循环群 G 是其中每个元素都是该群中特定元素 g 的幂的循环群。也就是说，G 的每个元素^{对于乘法群的某个整数 n 可以写为 g n} ，或者对于加法群的某个整数 n 可以写为 ng。所以，g 是 G 群的生成元。

证明 ：
让我们假设 G 是一个由 a 生成的循环群，即 G = {a}。
如果另一个组 H 等于 G 或 H = {a}，那么显然 H 是循环的。
所以设 H 是 G 的真子群。因此，H 的元素将是 a 的整数幂。
如果 a ^s ∈ H，则 a ^s的逆 ie；

a-s ∈ H

因此，H 包含 a 的正整数幂和负整数幂的元素。
现在，让 m 是最小的正整数，使得

am ∈ H

然后我们要证明：

H = { am }

即， H 是循环的并且由 a ^m生成。
设 a ^t是 H 的任意元素。
通过除法算法，存在整数 q 和 r，使得：

t = mq + r,    0 ≤ r 

现在，

am ∈ H 
⇢(am)q ∈ H 
⇢ amq ∈ H
⇢(amq)-1 ∈ H
⇢a-mq  ∈ H.

还，

at  ∈ H
a-mq  ∈ H ⇢ at a-mq  ∈ H
⇢ at-mq  ∈ H
⇢ ar  ∈ H.      (Since, r = t- mq)

现在 m 是最小的正整数，使得：

am ∈ H,      0 ≤ r 

因此，r 必须等于 0。
因此，

t = mq                    

所以，

at = amq =(am)q .

因此，每个元素 a ^t ∈ H 的形式为 ( a ^m ) ^q 。
因此，H 是循环的并且 a ^m是 H 的生成。
因此，证明循环群 (G) 的每个子群(在本例中为 H)都是循环的。