群的子群和顺序|数学

先决条件：组

小组——

如果 H 是 G 的二元运算 (*) 下的群，则群 G 的非空子集 H 是 G 的子群。我们使用符号 H ≤ G 表示 H 是 G 的子群。此外，如果 H 是一个真子群则记为 H < G 。

H≠φ
如果 a, k ∈ H 然后 ak ∈ H
如果一个 ∈ H 然后 a ^-1 ∈ H

前任。 –整数 (Z) 是加法下的有理数 (Q) 的子群， (Z, +) < (Q, +)

笔记：

G 是其自身的子群，{e} 也是 G 的子群，称为平凡子群。
子组将具有组的所有属性。
如果对于所有 g ∈ ^{g -1} H g = H，则组 G 的子组 H 是正规子组。 G。
如果 H < K 且 K < G，则 H < G(子群传递性)。
如果 H 和 K 是群 G 的子群，那么 H ∩ K 也是一个子群。
如果 H 和 K 是群 G 的子群，则 H ∪ K 可能是也可能不是一个子群。

陪赛特 –

设 H 是群 G 的一个子群。如果 g ∈ G，g生成的H的右陪集是，Hg = { hg, h ∈ H };
类似地，由 g 生成的 H 的左陪集是 gH = { gh, h ∈ H }

例子：考虑加法下的_{Z 4} _{(Z 4} , +)，令H={0, 2}。 e = 0，e 是单位元素。在 G 中找到 H 的左陪集?
解决方案：

The left cosets of H in G are,
 eH = e*H = { e * h | h ∈ H} = { 0+h| h ∈ H} = {0, 2}.
 1H= 1*H = {1 * h | h ∈ H} = { 1+h| h ∈ H} = {1, 3}.
 2H= 2*H = {2 * h | h ∈ H} = { 2+h| h ∈ H} = {0, 2}.
 3H= 3*H = {3 * h  |h ∈ H} = { 3+h| h ∈ H} = {1, 3}.
 Hence there are two cosets, namely 0*H= 2*H = {0, 2} and  1*H= 3*H = {1, 3}.

团体顺序 –

群的阶(G) 是该群中元素的数量，即它的基数。用|G|表示。
元素a ∈ 的顺序G 是最小的正整数 n，使得 a ⁿ = e，其中 e 表示该组的单位元素，而 a ⁿ表示 a 的 n 个副本的乘积。如果不存在这样的 n，则称 a 具有无限阶。有限群的所有元素都具有有限阶。

拉格朗日定理：

如果 H 是有限群 G 的子群，则子群 H 的阶除以群 G 的阶。

组元素的阶的属性：

有限群的每个元素的阶都是有限的。
群中元素的阶与其逆 a ^-1的阶相同。
如果 a 是 n 阶元素并且 p 是 n 的素数，则^p也是 n 阶元素。
元素 b 的任何积分幂的阶数都不能超过 b 的阶数。
如果群 G 的元素 a 为 n 阶，则 a ^k =e 当且仅当 n 是 k 的约数。
元素 a 和 x ^-1 ax 的顺序相同，其中 a、x 是一组中的任意两个元素。
如果 a 和 b 是组的元素，则ab 的顺序与ba 的顺序相同。

相关的 GATE 问题：
1) Gate CS 2018
2) Gate CS 2014 (Set-3)