群同态和正规子群

先决条件：组

同态：
从群(G,*) 到群(G’,+)的映射(函数) f称为从G到G’的群同态(或群态射)如果， f (a*b) = f (a ) + f (b) ，对于所有的 a，b 都属于集合 G。

例子 –

1. 函数f(x)=a ^x from (R,+) to (R _o ,*)，这里 R 是所有实数的集合，R _o是不包括 0 的所有实数的集合。对于任何 n， m ∈ R f(n+m)= a ^n+m = a ⁿ * a ^m =f(n)*f(m) ，这是同态。
2. 对于循环群 Z ₃ = {0, 1, 2} 和带加法的 Z(整数集)，
   从 Z ₃到 (Z,+) 的函数f(x)=x mod3 是一个群同态。

注意——对于同态f:G →G’  

• f是一个单态如果f是单射(一对一)。
• f是表同胚，如果f是满射(onto)。
• 如果G = G’， f是内同态。
• G’称为群G的同态图像。

与同态相关的定理：
定理 1 –如果 f 是从群 (G,*) 到 (G’,+) 的同态，并且如果 e 和 e’ 是它们各自的恒等式，则
f(e) = e’。 f(n ^-1 ) = f(n) ^-1 ,n ∈ G 。
证明 –

1.设n∈G，则n * e = a = e * a
=> f(n * e) = f(a) = f(e * n)
=> f(n) + f(e) = f(n) = f(e) + f(n) ，因为 f 是同态
=> f(e) 是 G’ 中的身份
=> f(e) = e’。所以证明群态射f下G的恒等式的像就是G’的恒等式。

2. 设n’为n∈G的倒数，则a * a’ = e = a’ * a
=> f(a * a’) = f(e) = f(a’ * a)
=> f(a) + f(a’) = e’ = f(a’) + f(a)，因为 f 是同态
=> f(a’) = f(a)’。
所以证明群态射f下G的任意元素的逆像是G’中a的像的逆。

定理 2 –如果 f 是群 (G,*) 到群 (G’,+) 的同态，则
H 是 G => f(H) 的子群 G’ 。
H’ 是 G’ 的子群 => f'(H’) ={x ∈ G / f(x) ∈ H’} 是 G 的子群。

证明 –
因为 f(H) 是 G’ 的子群并且 f(H) ≠ ∅ 因为 e ∈ H => f(e) = e’ ∈ f(H) 其中 e’ 是 G’ 中的恒等式。
如果 a’, b’ ∈ f(H), 那么 a’ + b’ ∈ f(H)
=> 在 H 中存在 a, b 使得 f(a) = a’ 和 f(b) = b’
=> a’ + (b’)’ = f(a) + f(b)’ = f(a) + f(b’)，因为 f(b)’ = f(b’)
= f(a * b’)，因为 f 是同态。
但是 a ∈ H , b’ ∈ H => a * b’ ∈ H
=> f(a * b’) ∈ f(H)
=> f(a * b’) = a’ + (b’)’ ∈ f(H)。因此，f(H) 是 G’ 的子群。

2. 因为 f(H’)’ 是 G 的一个子群，f(H)’ ≠ ∅ 因为至少 e ∈ f(H’)’
若 a, b ∈ f(H’)’ ，则 a, b ∈ f(H’)’ ，则 f(a) ∈ H’ 且 f(b) ∈ H’
=> f(a) + f(b)’ ∈ H，因此 H 是 G 的一个子群。
=>f(a) + f(b’) ∈ H’ => f(a * b’) ∈ H’ ，因此 f 是同态。

正常子群：
一个分组(N，*)的基团(G *)的被称为的正规子群(G，*)如果，对于克∈g和n∈N，我们有克* N *克^-1∈N。  
我们把它写成 H < IG。
例子 –

1.  组 N=({1},*) 是组 G=({1,-1},*) 的正规子群，因为对于 g=1 和 n= 1，g*n*g ^-1 = 1*1* (1 ^-1 ) = 1 ∈ N
   此外，对于 g=-1 和 n=1，这里 g*n*g ^-1 =1 ∈ N。
2. 群 N=({1,-1},*) 是群 G=({1,-1,i,-i},*) 的正规子群。
3. 包含任何群 G 的单位元素 {e} 的群是 G 的正规群。

笔记 –

• 如果 N 是 G 的一个子群，我们可以说 g*N=N*g ,∀g∈ G 其中 g*N 是 H 的左陪集，N*g 是 H 的右陪集。
• 如果一个非阿贝尔群的所有子群都是正规的，则称为哈密顿群。
• 对于任何群 G 1.) G 本身和 2.) {e} 其中 e 是单位元，被称为不当正规子群，除这两个外，被称为真群。
• 没有真正规子群的群称为简单群。
• 两个正规子群的交集也是正规子群。
• 循环群的每个子群都是正规子群。

与正规子群相关的定理：
定理 1 –阿贝尔群的所有子群都是正规的。
证明 –
设 N 是任意阿贝尔群 G 的任意子群。
如果 g ∈ G(所以我们也有 g ^-1作为 g 的逆)并且 n ∈ N，那么， g*n*g ^-1 = (n*g)*g ^-1 ，因为 G 是阿贝尔的所以可交换
=n*(g*g ^-1 ) ，因为 G 是阿贝尔的，所以结合
=n*e = n ∈ N
因此， g ∈ G , n ∈ N => g*n*g ^-1 ∈ N ，所以 H 是 G 的正规子群。

定理 2 –群 (G,*) 的子群 (N,*) 是正规的当且仅当 g*N*g ^-1 = N 对于所有 g ∈ G。
证明 –
设 N 是 G 的一个正规子群。那么，对于每一个 g ∈ G，n ∈ N => g*n*g ^-1 ∈ N
=> g*N*g ^-1 ⊆ N ( 1)
此外，对于所有 g ∈ G，g*N*g ^-1 ⊆ N
=> g ^-1 *N*(g ^-1 ) ^-1 ⊆ N ，因为 g ^-1 ∈ G。
=> g ^-1 *N*g ⊆ N
=> g*(g ^-1 *N*g)*g ^-1 ⊆ g*N*g ^-1
=> (g*g ^-1 )*N*(g*g ^-1 ) ⊆ g*N*g ^-1
=> N ⊆ g*N*g ^-1 (2)

从等式 1 和 2 ，
g*N*g ^-1 =N , ∀ g ∈ G

相反——让 g*N*g ^-1 =H , ∀ g ∈ G
然后 g*N*g ^-1 => g*N*g ^-1 ⊆ N
=> g*n*g ^-1 ∈ N ，对于 n ∈ N。
因此，证明当且仅当 N 是 G 的子集，则 g*N*g ^-1 =N ，∀ g ∈ G。