先决条件 – 集合论介绍，集合操作(集合论)
对于给定的集合 S，幂集P(S) 或 2^S 表示包含 S 的所有可能子集作为其元素的集合。例如，
S = {1, 2, 3}
P(S) = {ɸ, {1}, {2}, {3} {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
幂集中的元素数 –
对于具有 n 个元素的给定集合 S，P(S) 中的元素数为 2^n。由于每个元素有两种可能性(存在或不存在)，可能的子集为 2×2×2.. n 次 = 2^n。因此，幂集包含 2^n 个元素。
笔记 –
- 有限集的幂集是有限集。
- 集合 S 是 S 的幂集的一个元素，可以写成 S ɛ P(S)。
- 空集 ɸ 是 S 的幂集元素，可以写成 ɸ ɛ P(S)。
- 空集 ɸ 是 S 的幂集的子集，可以写成 ɸ ⊂ P(S)。
让我们讨论基于幂集的问题。
一季度。 {0, 1, 2 的幂集的基数。 . ., 10} 是 _________。
(一) 1024
(二) 1023
(三) 2048
(四) 2043
解：集合的基数是包含的元素数。对于具有 n 个元素的集合 S，其幂集包含 2^n 个元素。对于 n = 11，幂集的大小为 2^11 = 2048。
Q2 。对于集合 A，A 的幂集表示为 2^A。如果 A = {5, {6}, {7}}，以下哪个选项为真。
I.Φ ϵ 2 A II. Φ⊆ 2 A III. {5,{6}} ϵ 2 A IV. {5,{6}} ⊆ 2 A (A) 仅 I 和 III
(B) 仅限 II 和 III
(C) 仅 I、II 和 III
(D) 仅 I、II 和 IV
说明：集合 A 有 5 个，{6}，{7} 有它的元素。因此，A的幂集为：
2^S = {ɸ, {5}, {{6}}, {{7}}, {5,{6}}, {5,{7}}, {{6},{7}}, { 5,{6},{7}}}
陈述 I 是真的，因为我们可以看到 ɸ 是 2^S 的一个元素。
命题 II 为真，因为空集 ɸ 是每个集的子集。
陈述 III 为真，因为 {5,{6}} 是 2^S 的一个元素。
但是，语句 IV 不正确，因为 {5,{6}} 是 2^S 的元素而不是子集。
因此，正确选项为(C)。
Q3。令 P(S) 表示集合 S 的幂集。以下哪项总是正确的?
(a) P(P(S))=P(S) (b) P(S) ∩ P(P(S)) = { Φ }
(c) P(S) ∩ S = P(S) (d) S ∉ P(S) (一)
(乙)乙
(C) c
(四) d
解决方案：让我们假设集合 S ={1, 2}。因此 P(S) = { ɸ, {1}, {2}, {1,2}}
选项 (a) 是错误的，因为 P(S) 有 2^2 = 4 个元素，而 P(P(S)) 有 2^4 = 16 个元素，它们不等价。
选项 (b) 为真，因为 S 和 P(S) 的交集是空集。
选项 (c) 为假，因为 S 和 P(S) 的交集是空集。
选项 (d) 为假，因为 S 是 P(S) 的一个元素。
可数集及其幂集——
当一个集合的元素可以被计数时，一个集合被称为可数的。可数集可以是有限的或无限的。
例如，表示元音的集合 S1 = {a, e, i, o, u} 是一个可数有限集。然而，表示自然数集的 S2 = {1, 2, 3……} 是一个可数无穷集。
笔记 –
- 可数有限集的幂集是有限的，因此是可数的。
例如，表示元音的集合 S1 有 5 个元素，其幂集包含 2^5 = 32 个元素。因此，它是有限的，因此是可数的。 - 可数无穷集的幂集是不可数的。
例如，表示一组自然数的集合 S2 是可数无限的。然而，它的幂集是不可数的。
不可数集及其幂集——
当一个集合的元素无法计数时，它被称为不可数集。不可数集可以总是无限的。
例如，包含 1 到 10 之间所有实数的集合 S3 是不可数的。
笔记 –
- 不可数集的幂集总是不可数的。
例如，代表 1 到 10 之间所有实数的集合 S3 是不可数的。因此，不可数集的幂集也是不可数集。
让我们讨论一下这个问题。
第 4 季度。设∑为有限非空字母表，设2^∑*为∑*的幂集。以下内容哪些是对的?
(A). Both 2^∑* and ∑* are countable
(B). 2^∑* is countable and ∑* is uncountable
(C). 2^∑* is uncountable and ∑* is countable
(D). Both 2^∑* and ∑* are uncountable解：令∑ = {a, b}
然后 ∑* = { ε, a, b, aa, ba, bb, ……………….}。
正如我们所见，∑* 是可数无限的，因此是可数的。但是可数无穷集的幂集是不可数的。
因此，2^∑* 是不可数的。所以，正确的选项是(C)。