先决条件 – 关系模型介绍和 Codd 规则
可以唯一标识该表的所有元组的表的任何属性子集都称为超级键。它不同于主键和候选键，因为只有最小的超级键才是候选/主键。
这意味着当我们从超级键中删除所有对其唯一性不必要的属性时，它才会成为主键/候选键。因此，本质上，所有主键/候选键都是超级键，但并非所有超级键都是主键/候选键。通过 Relation(Table) 的正式定义，我们知道一个关系的元组都是唯一的。所以，所有属性的集合本身就是一个超级键。
计算一个表的超级键的可能数量是GATE 的一个常见问题。下面的示例将演示有关此主题的所有可能类型的问题。
- 示例 1：让关系 R 具有属性 {a1,a2,a3} 并且 a1 是候选键。那么可以有多少个超级键呢?
这里，a1 的任何超集都是超键。
超级键是 = {a1, a1 a2, a1 a3, a1 a2 a3}
因此我们看到在这种情况下可能有 4 个超级键。一般来说，如果我们有一个带有一个候选键的 ‘N’ 个属性，那么可能的超级键的数量是 2 (N – 1) 。
- 示例 2：让关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…,an}。找到 R 的超级键。
最大超级键 = 2 n – 1。
如果关系的每个属性都是候选键。 - 示例 3：让关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…, an} 并且候选键是“a1 a2 a3”，那么可能的超级键数是多少?
按照前面的公式，我们有 3 个属性而不是一个。所以，这里可能的超级键的数量是 2 (N-3) 。
- 示例 4：让关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…, an} 并且候选键为“a1”、“a2”，那么可能的超级键数是多少?
这个问题现在略有不同，因为我们现在有两个不同的候选键，而不是只有一个。解决此类问题如下图所示：
- → |A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| – |A1∩A2|
=(候选键 A1 可能有超级键)+(候选键 A2 可能有超级键)-(A1 和 A2 的通用超级键)
= 2 (n-1) + 2 (n-1) – 2 (n-2)
- 示例 5：让关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…, an} 并且候选键为“a1”、“a2 a3”，那么可能的超级键数是多少?
(a1) 的超级键 + (a2 a3) 的超级键 – (a1 a2 a3) 的超级键
⇒ 2 (n – 1) + 2 (n – 2) – 2 (n – 3) - 示例 6：假设关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…, an} 并且候选键为“a1 a2”、“a3 a4”，那么可能的超级键数是多少?
(a1 a2)的超级键+(a3 a4)的超级键——(a1 a2 a3 a4)的超级键
⇒ 2 (n – 2) + 2 (n – 2) – 2 (n – 4) - 示例 7：假设关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…, an} 并且候选键为“a1 a2”、“a1 a3”，那么可能的超级键数是多少?
(a1 a2) 的超级键 + (a1 a3) 的超级键 – (a1 a2 a3) 的超级键
⇒ 2 (n – 2) + 2 (n – 2) – 2 (n – 3) - 示例 8：让关系 R 具有属性 {a1, a2, a3,…,an} 并且候选键为“a1”、“a2”、“a3”，那么可能的超级键数是多少?
在这个问题中，我们有 3 个不同的候选键。解决此类问题如下图所示。
- → |A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| – |A1∩A2| – |A1∩A3| – |A2∩A3| + |A1∩A2∩A3|
=(候选键 A1 可能的超级键)+(候选键 A2 可能的超级键)+(候选键 A3 可能的超级键)-(A1 和 A2 的共同超级键)-(A1 和 A2 的共同超级键) A3) –(A2 和 A3 的通用超级键)+(A1、A2 和 A3 的通用超级键)
= 2 (n-1) + 2 (n-1) + 2 (n-1) – 2 (n-2) – 2 (n-2) – 2 (n-2) + 2 (n-3)
- 示例 9：关系 R(A、B、C、D、E、F、G、H)和函数依赖集是
CH → G,
A → BC，
B → CFH,
E → A,
F → EG
那么存在多少个可能的超级键呢?第 1 步：-首先，我们必须找到候选键是什么：-
正如我们在给定的函数依赖中看到的那样，D 丢失了，但在关系中，D 是给定的，所以 D 必须是候选键的主要属性。A + = E + = B + = F + = 除 D 之外的关系的所有属性
所以，候选键是 = AD, BD, ED, FD第 2 步：-由于单个候选键而查找超级键
我们选择或不选择属性有两种可能性，因此将有 2 次机会，
A_ _D_ _ _ = _ B_ D_ _ _ _ = _ _ _ DE _ _ _ = _ _ _ D_F_ _ = 2 6第 3 步：-由于两个候选键的组合而查找超级键。
所以，n(AD ∩ BD) = n(AD ∩ ED) = n(AD ∩ FD) = n(BD ∩ ED) = n(BD ∩ FD) = n(ED ∩ FD) = 2 5第 4 步：-由于 3 个候选键的组合而找到超级键
所以，
n(AD∩BD∩ED)=n(AD∩ED∩FD)=n(ED∩BD∩FD)=n(BD∩FD∩AD)=2 4第 5 步：-查找所有的超级密钥，
所以，n(AD∩BD∩ED∩FD) = AB_DEF_ _ = 2 3因此，根据包含-排除原则：-
|W ∪ X ∪ Y ∪ Z| = |W| + |X| + |Y| + |Z| – |W ∩ X| – |W ∩ Y| – |W∩Z| – |X∩Y| – |X∩Z| – |Y∩Z| + |W ∩ X ∩ Y| + |W ∩ X ∩ Z| + |W ∩ Y ? Z| + |X∩Y∩Z| – |W∩X∩Y∩Z|# 超级键 = 4 * 2 6 – 6 * 2 5 + 4 * 2 4 – 2 3 = 120
所以超级键的数量是 120。这个解释是由 YaduvanshiRishi 提供的。