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📜  数学 |可能性

📅  最后修改于: 2021-09-27 15:43:00             🧑  作者: Mango

概率是指事件发生的程度。当一个事件发生时，比如扔球、从甲板上捡一张牌等，那么一定是与该事件相关的概率。

在数学上，概率是指想要的结果与可能的结果总数的比率。概率论有三种方法，即：

  1. 实证方法
  2. 经典方法
  3. 公理方法

在本文中，我们将研究公理方法。在这种方法中，我们用样本空间(S)和其他术语来表示概率。

基本术语：

  • 随机事件：-如果在类似条件下重复进行多次实验，如果每次都不会产生相同的结果，但试验中的结果是几种可能结果之一，则这种实验称为随机事件或概率事件。
  • 基本事件——基本事件是指执行的每个随机事件的结果。每当执行随机事件时，每个相关结果都称为基本事件。
  • 样本空间——样本空间是指随机事件的所有可能结果的集合。例如，当抛硬币时，可能的结果是正面和反面。
  • 事件——事件是指与随机事件相关的样本空间的子集。
  • 事件的发生——如果属于随机事件的任何一个基本事件是结果，则称与随机事件相关的事件发生了。
  • 确定事件——与随机事件相关联的事件如果在执行随机事件时总是发生，则称为确定事件。
  • 不可能的事件 –与随机事件相关的事件如果在执行随机事件时从未发生，则称为不可能事件。
  • 复合事件 –与随机事件相关的事件如果是两个或多个基本事件的不相交联合，则称为复合事件。
  • 互斥事件——与一个随机事件相关的两个或多个事件被称为互斥事件，如果其中任何一个事件发生，它会阻止所有其他事件的发生。这意味着两个或多个事件不能同时发生同时。
  • 穷举事件——如果它们的联合是样本空间，则与随机事件相关的两个或多个事件被称为穷举事件。

事件的概率——如果与随机实验相关的总共有p 个可能的结果，并且其中q个是对事件 A 有利的结果，那么事件 A 的概率由 P(A) 表示，并由下式给出

P(A) = q/p

事件 A 不发生的概率，即 P(A’) = 1 – P(A)

笔记 –

  • 如果 P(A) 的值 = 1，则事件 A 称为确定事件。
  • 如果 P(A) = 0，则事件 A 称为不可能事件。
  • 此外，P(A) + P(A’) = 1

定理：

  • 一般——设 A、B、C 是与随机实验相关的事件，然后
    1. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    2. 如果 A 和 B 互斥，则 P(A∪B) = P(A) + P(B)
    3. P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C)- P(C∩A) + P(A∩B) ∩C)
    4. P(A∩B’) = P(A) – P(A∩B)
    5. P(A’∩B) = P(B) – P(A∩B)
  • 乘法定理的扩展——设 A 1 , A 2 , ….., A n是与随机实验相关的 n 个事件，然后
    P(A 1 ∩A 2 ∩A 3 ….. A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )P(A 3 /A 2 ∩A 1 ) ….. P(A n /A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩ ….. ∩A n-1 )

例 1：一袋子里有 10 个橙子和 20 个苹果，其中 5 个苹果和 3 个橙子有缺陷。如果一个人随机取出两个，两个都是好的或两个都是苹果的概率是多少?

解决方案 –
在 30 个项目中，有两个可以通过30 C 2种方式选择。
因此，总基本事件= 30 C 2 。
考虑事件：
A = 得到两个苹果
B = 得到两个好东西
所需概率为：
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) …(i)
有 20 个苹果，其中 2 个可以用20 C 2种方式绘制。
P(A) = 20 C 2 / 30 C 2
有 8 个不良品，22 个良品，在 22 个良品中，可以用22 C 2种方式抽取两个。
P(B) = 22 C 2 / 30 C 2
Sice 有 15 项是好苹果，其中 2 项可以通过15 C 2方式选择。
P(A∩B) = 15 C 2 / 30 C 2
代入(i)中P(A)、P(B)和P(A∩B)的值
所需概率为 = ( 20 C 2 / 30 C 2 ) + ( 22 C 2 / 30 C 2 ) – ( 15 C 2 / 30 C 2 )
= 316/435

示例 2：一个人获得电力合同的概率是 2/5，而他没有获得管道合同的概率是 4/7。如果获得至少一个联系人的概率是 2/3，那么同时获得两个联系人的概率是多少?

解决方案：
考虑两个事件：
A = 人得到电合同
B = 人获得管道工程合同
我们有，
P(A) = 2/5
P(B’) = 4/7
P(A∪B) = 2/3
现在，
P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B)
= (2/5) + (1 – 4/7) – (2/3)
= 17/105

Total Law of Probability –设 S 为与随机实验相关的样本空间，E 1 , E 2 , …, E n为与随机实验相关的互斥且详尽的事件。如果 A 是随 E 1或 E 2或……或 E n发生的任何事件，则

P(A) = P(E1)P(A/E1) + P(E2)P(A/E2) + ... +  P(En)P(A/En)

Example-1：一个袋子里有 3 个黑球和 4 个红球。第二个袋子里有 4 个黑球和 2 个红球。随机选择一个袋子。从选定的袋子里，抽出一个球。求被抽中的球是红色的概率。

解决方案：
可以通过两种方式绘制红球：

  1. 选择包 I 然后从中画一个红球。
  2. 选择 bag II，然后从中抽出一个红球。

设 E 1 、E 2和 A 为定义的事件，如下所示：
E 1 = 选择包 I
E 2 = 选择包 II
A = 画红球
由于随机选择了两个包中的一个。
P(E 1 ) = 1/2
P(E 2 ) = 1/2
现在，选择第一个袋子时抽到红球的概率
P(A/E 1 ) = 4/7
并且，选择第二个袋子时抽到红球的概率
P(A/E 2 ) = 2/6
使用全概率定律，我们有
P(A) = P(E 1 )P(A/E 1 ) + P(E 2 )P(A/E 2 )
= (1/2)(4/7) + (1/2)(2/6)
= 19/42
因此，抽到红球的概率是 19/42

示例 2：在灯泡厂，A、B、C 三台机器分别生产灯泡总数的 25%、35% 和 40%。在它们的输出中，分别有 5%、4% 和 2% 是有缺陷的灯泡。从产品中随机抽取一个灯泡。拔出的灯泡有缺陷的概率是多少?

解决方案：
设 E 1 、E 2 、E 3和 A 为定义的事件，如下所示：
E 1 = 灯泡由机器 A 制造
E 2 = 灯泡由机器 B 制造
E 3 = 灯泡由机器 C 制造
A = 灯泡有缺陷
根据给定条件；
P(E 1 ) = 25/100
P(E 2 ) = 35/100
P(E 3 ) = 40/100
现在，给定机器 A 生产的灯泡有缺陷的概率
P(A/E 1 ) = 5/100
并且，鉴于机器 B 生产的灯泡有缺陷的概率
P(A/E 2 ) = 4/100
并且，给定机器 C 生产的灯泡有缺陷的概率
P(A/E 3 ) = 2/100
使用全概率定律，我们有
P(A) = P(E 1 )P(A/E 1 ) + P(E 2 )P(A/E 2 ) + P(E 3 )P(A/E 3 )
= (25/100)(5/100) + (35/100)(4/100) + (40/100)(2/100)
= 0.0345
因此，灯泡有缺陷的概率是0.0345