二维测量

二维测量主要处理周长和面积问题。形状是二维的，如三角形、正方形、长方形、圆形、平行四边形等。这个题目没有太多变化，大部分问题都是基于一定的固定公式。

• 周长：二维图形边界的长度称为周长。
• 面积：由二维图形包围的区域称为面积。
• 毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，(斜边) ² = (底) ² + (高) ²

三角形

设三角形的三边分别为a、b、c。

• 周长 = a + b + c
• 区域
  1. 2s = a + b + c
     面积 = $\sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c) }$
  2. 面积 = 0.5 x 底面 x 垂直高度

矩形

• 周长 = 2 x（长度 + 宽度）
• 面积 = 长度 x 宽度

正方形

• 周长 = 4 x 边长
• 面积 =（边长） ² = 0.5 x（对角线长度） ²

平行四边形

• 周长 = 2 x 相邻边的总和
• 面积 = 底 x 垂直高

菱形

• 周长 = 4 x 边长
• 面积 = 0.5 x 对角线的乘积

梯形

• 周长 = 所有边的总和
• 面积 = 0.5 x 平行边总和 x 垂直高度

圆圈

• 周长 = 2 π 半径
• 面积 = π（半径） ²
• 在圆心对角 θ 的弧长 = (π x 半径 x θ) / 180
• 在圆心对角 θ 的扇形面积 = (π x 半径² x θ) / 360

示例问题

问题 1：求等腰边长为 5 厘米，高为 4 厘米的等腰三角形的周长和面积。
解决方案：应用勾股定理，
(斜边) ² = (底) ² + (高) ²
=> (5) ² = (0.5 x 等腰三角形底边) ² + (4) ²
=> 0.5 x 等腰三角形的底面 = 3
=> 等腰三角形的底边 = 6 cm
因此，周长 = 所有边的总和 = 5 + 5 + 6 = 16 cm
三角形面积 = 0.5 x 底 x 高 = 0.5 x 6 x 4 = 12 cm ²问题 2：用一块尺寸为 22 cm x 7 cm 的矩形块来制作一个半径最大的圆。求这样形成的圆的面积。
解：在这样的问题中，圆的直径小于长和宽。
这里，圆的宽度直径 = 7 厘米
=> 圆的半径 = 3.5 厘米
因此，圆的面积 = π (半径) ² = π (3.5) ² = 38.50 cm ²问题 3：一个比萨饼被分成 8 个相同的块。每块在圆心处所对的角度是多少？
解决方案：相同的块，我们的意思是每块的面积是相同的。
=> 每块的面积 = (π x 半径² x θ) / 360 = (1/8) x 圆形披萨的面积
=> (π x 半径² x θ) / 360 = (1/8) x (π x 半径² )
=> θ / 360 = 1 / 8
=> θ = 360 / 8 = 45
因此，每块在圆心处所对的角度 = 45 度问题 4：四头奶牛被绑在边长为 7 厘米的正方形田地的每个角上。奶牛用绳子拴住，这样每头奶牛都能吃到尽可能多的田地，所有奶牛吃草的面积相等。求未放牧的田地面积。
解决方案：为了最大和均等地放牧，每根绳索的长度必须为 3.5 厘米。
=> 1 头牛吃草的面积 = (π x 半径² x θ) / 360
=> 1 头奶牛放牧的面积 = (π x 3.5 ² x 90) / 360 = (π x 3.5 ² ) / 4
=> 4 头奶牛放牧的面积 = 4 x [(π x 3.5 ² ) / 4] = π x 3.5 ²
=> 4 头奶牛放牧的面积 = 38.5 cm ²
现在，正方形区域的面积 = Side ² = 7 ² = 49 cm ²
=> 未放牧面积 = 田地面积 – 4 头奶牛放牧的面积
=> 未放牧面积 = 49 – 38.5 = 10.5 cm ²问题 5：求半径为 r 的圆中可以内切的最大正方形的面积。
解：可内接于圆的最大正方形将圆的直径作为正方形的对角线。
=> 正方形的对角线 = 2 r
=> 正方形的边 = 2 r / 2 ^1/2
=> 正方形的边 = 2 ^1/2 r
因此，正方形的面积 = Side ² = [2 ^1/2 r] ² = 2 r ²问题 6：承包商承担围栏工作，围栏长 100 m，宽 50 m 的矩形场地。围栏的费用是卢比。 2每米，人工费为Re。每米1，均直接支付给承包商。如果支付给承包商的金额的 10% 作为税款支付给土地当局，请计算围栏的总成本。
解决方案：每米围栏的总成本 = 卢比。 2 + 1 = 卢比。 3
所需围栏长度 = 矩形场地周长 = 2（长度 + 宽度）
=> 所需的围栏长度 = 2 x (100 + 50) = 300 米
=> 支付给承包商的金额 = Rs。 3 x 300 = 900
=> 支付给土地当局的金额 = 卢比的 10%。 900 = 卢比。 90
因此，围栏的总成本 = 卢比。 900 + 90 = 卢比。 990

二维测量问题| 2套

三角程序

• 求三角形的面积
• 求三角形的周长
• 如果给定两个相邻边的两个向量，则求三角形的面积
• 计算等边三角形的面积和周长
• 给定底和面积的三角形的最小高度

矩形程序

• 矩形的面积和周长程序
• 两个重叠矩形的总面积
• 给定周长的最大矩形面积
• 通过从阵列中选取四个边的最大面积矩形
• 找到具有给定坐标集的矩形的最小面积

广场上的节目

• 求正方形面积的程序
• 从对角线长度算出的正方形面积
• 矩形内所有可能正方形的面积总和
• 查找正方形和矩形的周长/周长

平行四边形程序

• 平行四边形的周长程序
• 求平行四边形面积的程序
• 如果给定两个相邻边的向量，则求平行四边形的面积

菱形和梯形程序

• 计算对角线给定的菱形的面积和周长的程序
• 可内接于矩形的最大可能菱形的面积
• 计算梯形面积和周长的程序

Circle 上的节目

• 求圆面积的程序
• 求圆周长的程序
• 计算正方形内切圆面积的程序
• 菱形内切圆的面积
• 正方形的外接圆面积
• 正六边形内接圆的面积
• 求三角形内圆半径的程序