进展（AP、GP、HP）

进程（或序列和系列）是按特定顺序排列的数字，以便它们形成可预测的顺序。通过可预测的顺序，我们的意思是给定一些数字，我们可以找到系列中的下一个数字。

算术级数 (AP)

如果任意两个连续项之间的差值始终相同，则称为等差数列。简单来说，这意味着通过在系列中的前一个数字上加上一个固定数字来计算系列中的下一个数字。这个固定数称为公差。
例如，2,4,6,8,10 是 AP，因为序列中任何两个连续项之间的差值（共同差值）是相同的 (4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2) .

如果 ‘a’ 是第一项，而 ‘d’ 是公差，
• AP 的第 n 项 = a + (n-1) d
• 算术平均值 = AP 中所有项的总和 / AP 中的项数
• AP 的“n”项之和 = 0.5 n（第一项 + 最后一项）= 0.5 n [ 2a + (n-1) d ]

几何级数 (GP)

如果任何两个连续项的比率总是相同的，则称为几何级数。简单来说，这意味着系列中的下一个数字是通过将一个固定数字乘以系列中的前一个数字来计算的。这个固定数称为公比。
例如，2,4,8,16 是 GP，因为序列中任何两个连续项的比率（公差）是相同的 (4 / 2 = 8 / 4 = 16 / 8 = 2)。

如果’a’是第一项，’r’是公比，
• GP 的第 n 项 = ar ^n-1
• 几何平均值 = GP 中 n 项乘积的 n 次方根
• GP 的“n”项之和 (r < 1) = [a (1 – r ⁿ )] / [1 – r]
• GP 的“n”项之和 (r > 1) = [a (r ⁿ – 1)] / [r – 1]
• GP 的无限项之和 (r < 1) = (a) / (1 – r)

谐波进程 (HP)

如果项的倒数在 AP 中，则一系列数字称为调和级数。简单来说，如果 1/a, 1/b, 1/c, 1/d, 1/e, 1/f 在 AP 中，则 a,b,c,d,e,f 在 HP 中。

对于两个术语“a”和“b”，
• 谐波平均值 = (2 ab) / (a + b)

对于两个数，如果A、G和H分别是算术、几何和调和平均数，则

• A≥G≥H
• AH = G ² ，即 A、G、H 在 GP 中

示例问题

问题 1：找出 AP 的第 n 项：11, 17, 23, 29, …
解：这里，a = 11，d = 17 – 11 = 23 – 17 = 29 – 23 = 6
我们知道一个 AP 的第 n 项是 a + (n – 1) d
=> 给定 AP 的第 n 项 = 11 + (n – 1) 6
=> 给定 AP 的第 n 项 = 5 + 6 n
我们可以通过输入“n”的值来验证答案。
=> n = 1 -> 第一项 = 5 + 6 = 11
=> n = 2 -> 第二项 = 5 + 12 = 17
=> n = 3 -> 第三项 = 5 + 18 = 23
等等 …问题 2：求上题中 AP 的总和，直到前 10 项。
解决方案：从上面的问题，
=> 给定 AP 的第 n 项 = 5 + 6 n
=> 第一项 = 5 + 6 = 11
=> 第 10 项 = 5 + 60 = 65
=> AP 的 10 项总和 = 0.5 n（第一项 + 最后一项）= 0.5 x 10 (11 + 65)
=> AP 的 10 项之和 = 5 x 76 = 380问题 3：对于元素 4 和 6，验证 A ≥ G ≥ H。
解： A = 算术平均值 = (4 + 6) / 2 = 5
G = 几何平均值 = $\sqrt{{4}\times{6}}$ = 4.8989
H = 谐波平均值 = (2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48 / 10 = 4.8
因此，A≥G≥H问题 4：求 32, 16, 8, 4, … 到无穷大的级数之和。
解：第一项，a = 32
公比，r = 16 / 32 = 8 / 16 = 4 / 8 = 1 / 2 = 0.5
我们知道对于无穷大的 GP，项的总和 = a / (1 – r)
=> GP 的总和 = 32 / (1 – 0.5) = 32 / 0.5 = 64问题 5： GP 中三个数的和是 26，它们的乘积是 216。求出这些数。
解：设数字为a/r, a, ar。
=> (a / r) + a + ar = 26
=> a (1 + r + r ² ) / r = 26
此外，假设产品 = 216
=> (a / r) x (a) x (ar) = 216
=> ³ = 216
=> a = 6
=> 6 (1 + r + r ² ) / r = 26
=> (1 + r + r ² ) / r = 26 / 6 = 13 / 3
=> 3 + 3 r + 3 r ² = 13 r
=> 3 r ² – 10 r + 3 = 0
=> (r – 3) (r – (1 / 3) ) = 0
=> r = 3 或 r = 1 / 3
因此，所需的数字是 2、6 和 18。

进步问题（AP、GP、HP）|组 2