优化的Euler Totient函数进行多次评估

介绍

Euler Totient函数（欧拉函数）是一个经典的数论函数，用于计算小于等于某个正整数n的数中，与n互质的数的个数。

常规的欧拉函数计算方式会枚举小于n的每个数i，并判断i与n是否互质。这个方法的缺点是时间复杂度较高，尤其是在需要进行多次计算的情况下。

为了解决这个问题，一些优化的欧拉函数计算方法被提出。例如使用欧几里德扩展算法来计算GCD，或者使用线性筛法来预处理小于等于n的所有数的欧拉函数值，并通过公式计算任意数的欧拉函数值。这些方法能够大大提升欧拉函数的计算效率。

优化方法

我们介绍一种基于线性筛法的优化方法，该方法能够在O(n)的时间复杂度内预处理小于等于n的所有数的欧拉函数值，并在O(1)的时间复杂度内计算任意数m的欧拉函数值。

具体实现方法如下：

1. 对于小于等于n的每个数i，我们维护一个指针p[i]，该指针指向小于等于i的数中最小的与i互质的数。
2. 对于每个质数p，我们将p倍数的指针设为p，并将对应数的欧拉函数值按公式计算并存储。
3. 对于每个合数i（i不是任何质数的倍数），我们将i的指针设为p[i]，并根据公式计算i的欧拉函数值。

预处理的时间复杂度为O(n)，查询任意数m的欧拉函数值的时间复杂度为O(1)。

代码示例

以下是基于线性筛法的优化欧拉函数的python代码示例：

def euler_totient(n):
    # 初始化指针和欧拉函数值
    phi = list(range(n + 1))
    p = [1] * (n + 1)
    
    # 筛质数和合数
    for i in range(2, n + 1):
        if p[i]:
            # 当前数是质数
            for j in range(i, n + 1, i):
                p[j] = 0
                if phi[j] == j:
                    phi[j] = j * (i - 1) // i
                else:
                    phi[j] = phi[j] * (i - 1) // i
        else:
            # 当前数是合数
            phi[i] = phi[p[i]]
    
    return phi

该函数可以接受一个正整数n作为输入，并返回一个长度为n+1的列表，列表中第i个元素表示小于等于i的数的欧拉函数值。

例如，euler_totient(10)返回[0, 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4]，表示小于等于10的数的欧拉函数值。

总结

优化的欧拉函数计算方法可以在O(n)的时间复杂度内预处理小于等于n的所有数的欧拉函数值，并在O(1)的时间复杂度内计算任意数的欧拉函数值，适用于需要多次计算欧拉函数的情况。

线性筛法是一种较为高效的优化方法，但是并不是最优的。例如，在处理大量数据时，使用预处理公式计算欧拉函数值的方法可能更快速。

最终，具体选择哪种优化方法还需根据具体问题的特点进行选择。