如果$ x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0 $，则$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空集C称为顶点为0的圆锥。

如果集合C既是凸面又是锥面，则它是凸锥面。

例如，$ y = \ left | x \ right | $不是凸锥，因为它不是凸锥。

但是，$ y \ geq \ left | x \ right | $是一个凸锥，因为它既是凸也是锥。

注–当且仅当对于任何$ x，y \ in C，x + y \ in C $，圆锥C都是凸的。

证明

由于C是圆锥形，对于$ x，y \ C \ Rightarrow \ lambda x \ in C $和$ \ mu y \ in C \：\ forall \：\ lambda，\ mu \ geq 0 $

如果$ \ lambda x + \ left(1- \ lambda \ right)y \ in C \：C是凸的C :: \ forall \：\ lambda \ in \ left(0，1 \ right)$

由于C为圆锥形，因此C中的$ \ lambda x \和C中的$ \ left(1- \ lambda \ right)y \ C \ Leftrightarrow x，y \ in C $

因此，如果$ x + y \ in C $

通常，如果$ x_1，x_2 \ in C $，则$ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C，\ forall \ lambda_1，\ lambda_2 \ geq 0 $

例子

• $ \ mathbb {R} ^ n $中的无穷向量组的圆锥组合是凸锥。

• 任何空集都是凸锥。

• 任何线性函数都是凸锥。

• 由于超平面是线性的，因此它也是一个凸锥。

• 封闭的半空间也是凸锥。

注–两个凸锥的相交是凸锥，但它们的并集可以是也可以不是凸锥。