计算乘积为复合数的数组中的对

简介

在一个数组中，找出所有乘积为复合数的数对并返回。所谓复合数，是指实部和虚部都不为零的数。

题目分析

考虑此题的暴力解法，我们可以枚举所有的数对，然后计算它们的乘积，看是否为复合数。但是这样的时间复杂度为 $O(n^2)$，对于大数组是不可行的。因此，我们需要寻找更优秀的算法。

那么，对于一个数 $a+b i$ 和另一个数 $c+d i$，它们的乘积为 $ac + (ad+bc)i - bd$。这个式子看起来稍微有点麻烦，但是我们可以把它拆开，得到以下两个乘积：

• $\text{Re}(a, b)\cdot\text{Re}(c, d) - \text{Im}(a, b)\cdot\text{Im}(c, d)$
• $\text{Re}(a, b)\cdot\text{Im}(c, d) + \text{Re}(c, d)\cdot\text{Im}(a, b)$

其中，$\text{Re}(a, b)$ 表示 $a+b i$ 的实部，$\text{Im}(a, b)$ 表示 $a+b i$ 的虚部。我们可以把所有复合数都表示成实部和虚部的形式，对于每个数对都只需要进行两次乘法、一次加法即可得到它们的乘积。

所以，我们可以先将数组中的数全部转换成实部和虚部的形式，然后计算每个数对的乘积，并检查结果是否为复合数。这个算法的时间复杂度为 $O(n)$，是一种较为高效的解法。

代码实现

下面是使用 Python 代码实现此算法的例子：

from typing import List

def complex_multiplication(nums: List[complex]) -> List[tuple]:
    pairs = []
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            a, b = nums[i].real, nums[i].imag
            c, d = nums[j].real, nums[j].imag
            x = a*c - b*d # 计算实部
            y = a*d + b*c # 计算虚部
            if x != 0 and y != 0:
                pairs.append((nums[i], nums[j]))
    return pairs

此函数接收一个复合数的列表，返回其中所有乘积为复合数的数对。对于每个数对，我们计算它们乘积的实部和虚部，并检查它们是否均不为零。如果是，我们就把数对加入到一个列表中，并最终返回这个列表。

结论

本题考察了计算复合数乘积的知识，以及 v 数据结构中列表的运用。我们介绍了一种时间复杂度为 $O(n)$ 的解法，避免了暴力枚举的低效率算法。

需要注意的是，在程序中我们使用了复数类，这是一种本身就能够表示复合数的类型。虽然 Python 中的复数类自带实部和虚部的属性，但是为了能够更清晰地展示计算过程，我们还是使用了它们的 “.real” 和 “.imag” 属性。